青チャート数学１＋Ａ 例題95 について

「mを0でない実数とする。2つのxの2次方程式　x^2-(m+1)x-m^2=0　と x^2-2mx-m=0　がただ１つの共通解をもつとき、mの値と共通解を求めよ。」

この解答で、
共通解をx=αとおいて、α^2-(m+1)α-m^2=0・・・①　と α^2-2mα-m=0・・・②　から　m=1　または　m=α　が導かれ、ここで場合分けをします。
[1]m=1のとき　「2つの方程式はともに x^2-2x-1=0」　（省略）　
[2]m=αのとき　「②に代入して　ｍ^2-2m^2-m=0　よって　m(m+1)=0」

この場合わけの[2]で②に代入しても、①に代入してもこの問題は　m(m+1)=0が得られるのですが、これは②だけでなく①について②にも代入して同じ式が得られることを確かめる必要があるのではないでしょうか。[1]では２つの方程式で確かめているように。

解説には「①に代入してもよい」と欄外に説明がありますが、片方だけでよい理由を教えていただけますでしょうか。

よろしくお願いします。

No.5 回答者： tsukita 回答日時： 2016/07/23 17:08

No4です。

最後の部分の補足です。
>したがって、②について調べて、ｍ＝－１に反する条件は絶対に得られないことがわかります。

仮に②によりｍ＝－１に反する条件が得られた場合、”題意を満たすようなｍは存在しないこと”になります。
（が、これはｍ＝－１が実際に題意を満たす事実に反します）

No.4 回答者： tsukita 回答日時： 2016/07/23 16:58

質問の答えを先に述べると、片方の式に代入するだけでＯＫです。

なぜなら、最後に、ｍの値と共通解αを具体的に求めているため、
論理における「十分性」を確かめているからです。
理由を頑張って説明してみます。

　Ｐ１：①②がただ１つの共通解を持つ。
⇒Ｐ２：ある実数αに対して①②が成立する、かつ、①②はα以外に共通の解をもたない。
⇒Ｐ３：（ｍ＝１、または、ｍ＝α）、かつ、①②はα以外に共通の解をもたない。

ここでＰ３は、
（ｍ＝１、かつ、①②はα以外に共通の解をもたない。）・・・☆１
　または
（ｍ＝α、かつ、①②はα以外に共通の解をもたない。）・・・☆２
と同値です。
ここで、ｍ＝１を調べてみると、①②が同じ方程式となり、①②がα以外に共通解を持たないことに反する。よって、☆１にはならない。

以上をまとめると、

　Ｐ１：①②がただ１つの共通解を持つ。
⇒Ｐ２：ある実数αに対して①②が成立する、かつ、①②はα以外に共通の解をもたない。
⇒Ｐ３：（ｍ＝１、または、ｍ＝α）、かつ、①②はα以外に共通の解をもたない。
⇒Ｐ４：ｍ＝α、かつ、①②はα以外に共通の解をもたない。
⇒Ｐ５：ｍ（ｍ＋１）＝０　←①より得られた。
　　　　（かつ、あるｍの条件が②から得られるかもしれないが、解説では確かめていない）
⇒Ｐ６：ｍ＝０、または、ｍ＝－１
　　　　（かつ、あるｍの条件が②から得られるかもしれないが、解説では確かめていない）
⇒Ｐ７：ｍ＝－１　※ｍ＝０は問題文に反する
　　　　（かつ、あるｍの条件が②から得られるかもしれないが、解説では確かめていない）

【注】Ｐ１、Ｐ２、…、Ｐ７には明らかに必要十分であるもの（たとえばＰ５とＰ６）がありますが、⇒の流れが真であることがわかれば今はＯＫです。


最後に（おそらく解説では）ｍ＝－１を①②に代入して、共通解がｘ＝－１であることと、ｘ＝－１が唯一の共通解であることがわかる。

以上の論理をまとめると、
Ｐ１⇒Ｐ２⇒…⇒Ｐ７⇒Ｐ１
となるので、Ｐ１⇒Ｐ７、Ｐ７⇒Ｐ１が示され、
Ｐ１⇔Ｐ７（必要十分性）が示されたことになります。


さて、Ｐ５～Ｐ７で、②より得られるｍの条件を調べていません。
このｍの条件を調べなくて良いのかどうかが、この質問で議論される点です。


（ここからがうまく説明できるかわかりませんが）
Ｐ７で、ｍの必要条件としてｍ＝－１が得られていることがポイントです。
②から得られるｍの条件が何であれ「かつ」ということは、
ｍ＝－１は「少なくとも」成立しているわけです。
そして、そのｍ＝－１を仮定して①②について確かめてみると
　Ｐ１：①②がただ１つの共通解を持つ。　
を満たすｍやαの存在性（Ｐ１が真であること）が確かめられました。

したがって、②について調べて、ｍ＝－１に反する条件は絶対に得られないことがわかります。
つまり、②については調べなくてＯＫ。



※補足ですが、仮に、
　①からｍ＝－１、－２、－３、－４などのように複数の条件が得られたときには②を使ってｍの条件を求めることが効果的かもしれません。上記により、②で得られるｍの条件がｍ＝－１、－２、－３、－４と矛盾することはありませんが、②からは例えばｍ＝－１、－２、－５、－６が得られ、その結果として、より強い必要条件ｍ＝－１、－２が得られるかもしれないからです。そうすれば、ｍ＝－１、ｍ＝－２について、①②の方程式の解を調べてみればよいでしょう。この場合、ｍ＝－１のみで①②が１つの共通解を持つ、ｍ＝－２のみで①②が１つの共通解を持つ、ｍ＝－１かつｍ＝－２のとき①②が１つの共通解を持つの３つの場合が想定されるでしょう。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2016/07/17 15:46

No.1&2です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞1番目の方程式、2番目の方程式の両方に代入して「たまたま同じ式になりました」と結論づける必要があるように思うのです。
＞ここでもし、代入して「異なる式」が得られたら「そのそうなmは存在しない」という結論になる、と言う必要があると思うのですが、いかがでしょうか。

　ここでは、前提条件から得られる結果が「必要十分」であるか、ということです。「必要十分」であれば、得られた結論から、元の「条件」が成立するか否かを確認する必要はありません。

　たとえば、ｍを正の実数として
　　a = √ｍ のとき　a²=m
ですが、
　　a²=m のとき a = √ｍ
とは限りません。a = -√ｍ ということもあるからです。
　　a = √ｍ （十分条件）→　a²=m （必要条件）
このときには
　　a²=m　 →×→　a = √ｍ
ということです。
　これに対して、
　　a = ±√ｍ （十分条件）→　a² = m （必要条件）
　　a² = m （十分条件）→　a = ±√ｍ （必要条件）
は相互に必要十分条件になっています。

　ご質問の問題の場合には、
　　x^2-(m+1)x-m^2=0　と x^2-2mx-m=0　がただ１つの共通解をもつ
　　　↓↑
　　α^2-(m+1)α-m^2=0　と α^2-2mα-m=0　が同時に成立し、かつこれを満たす α はただ１つ
　　　↓↑
　　m=α
は必要十分の関係になっています。

　この場合には、「x^2-(m+1)x-m^2=0　と x^2-2mx-m=0　がただ１つの共通解をもつ」に対して、「m=1」は「必要条件」ではあっても「十分条件」ではないことは分かりますか？　「m=1」のときに共通で得られる
　x^2 - 2x - 1 =0
は「２つの解をもつ」からです。
　m=1 が成立するときには、「α は任意の値でよい」ことになるので、2番目の「これを満たす α はただ１つ」という条件を満たしていないからです。

　通常、問題を解いていく過程でそこまでの条件分けはしていないと思うので、[2]の場合にも２つの式に代入して同じ結果が得られることを確認するのが、より確実で間違いないと思います。（ただし、上に書いたように、論理の進め方が「必要十分」になっていれば「必ずしも必要ではない」ということです）

この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございます。
悩みましたが理解できたように思います。
本当にありがとうございました！

お礼日時：2016/07/21 11:25

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/07/15 12:08

No.1です。

＞ただし、[2]でいっている②は、質問文の②ではなく、方程式の2番目のことですね？

と書いたのは、分かりづらかったですね。

その上で、最終行の

＞「2番目の方程式に代入して　x^2-2x-1=0」でも全く問題ありません。

はコピペの修正ミスで書き方が間違っていますね。

[1]では、①②から求めた m=1 を、元の方程式に代入しています。2つの方程式は同じ方程式になります。だから「共通解を持つ」。

[2]は、ｍが共通解そのものの値と一致する、ということです。この m は①②を同時に満たすので①または②に代入してもよいのですが、[1]と同様に、x=m として元の方程式に代入する方が考え方として自然かと思います。
　そうすれば
　　1番目の方程式に代入すれば
　　　　ｍ^2 - (m+1)m - m^2 = 0
　　2番目の方程式に代入すれば
　　　　ｍ^2 - 2m^2 - m = 0
で、結局ともに「同じ式」になります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>1番目の方程式に代入すれば
　　　　ｍ^2 - (m+1)m - m^2 = 0
　　2番目の方程式に代入すれば
　　　　ｍ^2 - 2m^2 - m = 0
で、結局ともに「同じ式」になります。

おっしゃる通り代入して整理するとどちらも「同じ式」　m(m+1)=0　が得られるのですが、
1番目の方程式、2番目の方程式の両方に代入して「たまたま同じ式になりました」と結論づける必要があるように思うのです。
ここでもし、代入して「異なる式」が得られたら「そのそうなmは存在しない」という結論になる、と言う必要があると思うのですが、いかがでしょうか。

お礼日時：2016/07/15 14:54

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/07/15 11:42

＞共通解をx=αとおいて、α^2-(m+1)α-m^2=0・・・①　と α^2-2mα-m=0・・・②　から　m=1　または　m=α　が導かれ、

なので、m=1 も m=α も、①と②を同時に満たす、つまり「共通解αを持つ場合の2つのxの2次方程式を同時に満たす」ことが自明だからでしょう。「どちらも満たす」のだから、どちらを使ってもよいということです。

ただし、[2]でいっている②は、質問文の②ではなく、方程式の2番目のことですね？

[1]の場合も、2つのxの2次方程式のどちらか一方を使えばよいのですが、たまたまどちらも同じ式になるので「2つの方程式はともに」と書いているのでしょう。
「2番目の方程式に代入して　x^2-2x-1=0」でも全く問題ありません。