小中学校の算数数学教育をされている方に意見を聞きたいです。

分数同士の掛け算の公式、分母同士掛けて分母にし分子どうしを掛けて分子にする計算公式
をどのようにおしえていらしゃるでしょうか？理論的に計算公式を証明しましたがどう思いますか。
ホームページを載せますのでご意見を聞きたいです。
自然数の交換法則、結合法則、分配法則はわかるものとして分数を定義しそして分数同士の掛け算を定義しそれが自然数の掛け算の拡張になっていることを示す。そういう方法で考えました。
ホームページ：
http://ameblo.jp/yoshi195203/entry-12180719995.h …

質問者からの補足コメント

• 分数同士の掛け算を定義しその後分数の掛け算の公式を証明しました。

    補足日時：2016/07/15 14:08

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/07/17 12:16

小学生向け、中学生向け、高校以上向けに分けないと理解が難しいでしょう。

小学生に「2を3で割る」と言ってもピンと来ないし、数式を演算して「証明」と言われても、ますます「？？」。

分数は定義と言うよりa:bの比の値、つまり「a÷bを計算しなさい」的意味で有って、毎回「a÷bを計算しなさい」では長すぎるので端的に「a/b」と表した表現方法の１つとも言えます。
fractionは比とか割合の意味ですから。
これを小学生に教えて納得させるには結構難しい。

高校以上向けなら、証明とは言い難く思います。
a/bを先ず厳密に定義なりするところから始める必要があると思います。
「xに関する一次方程式ax-b=0の解をa/bで表現する」、とか
「a÷bの演算結果をa/bで表現する」とか・・・。

後は結合法則、交換法則を使って淡々と式で証明する、のがスッキリします。

例えば(a/b)×(c/d)=(a×c)/(b×d) の証明
上で定義した分数の定義を使うと
(a/b)×b=a、　(c/d)×d=c

左辺同士を掛けると{(a/b)×b}×{(c/d)×d}。
結合法則、交換法則を使うと
{(a/b)×b}×{(c/d)×d}={(a/b)×(c/d)}×(b×d)

これが右辺同士の掛け算に等しいから
{(a/b)×(c/d)}×(b×d)=a×c　

両辺を(b×d)で割ると
(a/b)×(c/d)=(a×c)/(b×d)

この回答へのお礼

大変貴重な御意見ありがとうございます。小学校程度では無理ということがわかりました。

お礼日時：2016/07/17 13:00

No.2 回答者： uyama33 回答日時： 2016/07/17 07:12

リンク先を見たのですが、

証明とは思えません。

普通の数学のように
自然数を定義し、分数を定義し、有理数を定義し、実数を定義し、、、
の流れに沿ってかかれたほうがよいと思います。

（自然数の定義は何通りかあってどれを採用するか悩むところですが、、、）

この回答へのお礼

御意見ありがとうございます。最善を尽くしたつもりですが。。。

お礼日時：2016/07/17 09:45

No.1 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2016/07/15 19:22

小学校ではありませんが、算数教育では、中学以降の数学とは根本的な考え方、教え方が異なります。

代数的には違うだろうというのもたくさんあります。その理由は、あくまで算術であって社会に出て必要最低限の計算能力が目的だから・・

＞自然数の交換法則、結合法則、分配法則はわかるものとして
　これは、教えないはずです。
　小学校では、
・小さい数から大きい数は引けない。
　　わざわざ大きい数から引く形にして計算する。
　　(車庫の入出庫の車の台数とか)
・計算の順番は変えられない。
　みかん２個の皿１０枚なら、2個×10 = 20個
　　これは、いろいろ意見があることは承知していますが、子供より教師も色々なので

中学の数学では、
・数と演算をきちんと区別する。
　　3 + 2 とは、(+3) + (+2) という意味
　　3 - 2 とは、(+3) + (-2) という意味
　　掛け算は
　　3 × 2 は、(+3) × (+3)、
　　3 ÷ 2 は、(+3) × (1/3)
　これは
＞自然数の交換法則、結合法則、分配法則はわかるものとして
　ではなく、負数でも少数でも、さらには【未知数】でも成り立つことを徹底的に学んでから、初めて[交換][結合][分配]を学ぶのです。
　数の拡張（負数、分数、有理数、無理数、・・複素数とね）

　中途半端に、小学生で持ち出すのは問題があると思います。小学校の先生は理学部数学科を出ている人はいない。数論、代数学、群論などを学ばれていない小学校の先生には無理なのです。もちろん、それらが得意な人もいるでしょうがきわめて限られています。

　小学校での分数とは、「何個に分けたものが何個」と統一して教えることになっていますね。
　12房のミカンを最初に二人で分けて、1/2 それをさらに三人で分ければ、1/2 × １/3 = (1×1)/(2×3) = 6 です。

　もちろん、小学生に自然数、少数、負数、分数を数として教えるのは拙速でしょう。それらすべてについて、足し算、掛け算は共通ですし、交換則・結合・分配もね、だって「引き算」も「割り算」もないのですから。

この回答へのお礼

あまり教えた経験のない者にとって参考になりました。分数でつまずいている生徒を見ると歯がゆくなって投稿しました。
なんとか分数でつまずいている生徒を救ってやりたいです。考えてみると議論が難しすぎますね。そのうち
（＋）*（ー）＝（ー）とか（ー）*（ー）＝（＋）、ー（－A)=Aなど負の数について理論的根拠を示したいと思います。
どうもありがとうございました。

お礼日時：2016/07/15 20:32