慣性モーメント 以下の問題なのですが(3)がわかりません。(4)は最高点での張力(=遠心力−重力)

慣性モーメント

以下の問題なのですが(3)がわかりません。(4)は最高点での張力(=遠心力−重力)≧0で求められると思うのですが(3)は回転エネルギーの保存を使うのでしょうか？

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2016/08/17 01:16

No.2です。

＞（３）にて棒の位置エネルギーは式に組み込まれないのでしょうか？

そうですね。忘れていました。
棒に質量がない場合で考えてしまいました。
その場合には「質点」の扱いで運動エネルギーが使えますが、棒に質量があれば、慣性モーメントで計算しないといけませんね。

棒の慣性モーメント：(1/3)ML^2
質点の慣性モーメント：mL^2

最高点と最下点との棒の位置エネルギー差：MgL
最高点と最下点との質点の位置エネルギー差：2mgL

なので、最下点での角速度を ω とすると

(1/2)[(1/3)ML^2 + mL^2]ω^2 ≧ MgL + 2mgL

より

ω^2 ≧ 2(MgL + 2mgL)/[(1/3)ML^2 + mL^2] = 6g(M + 2m)/L(M + 3m)

ω = vb/L なので

v^2 ≧ 6gL(M + 2m)/(M + 3m)
v ≧ √[ 6gL(M + 2m)/(M + 3m) ]

ですね。M=0 とすれば、No.2の（３）に一致します。


＞また（４）にて
＞最高点の速度が出た跡、最高点と最下点の力学的エネルギー保存より最下点の速度を出すことも可能ですがそれだと、回答していただいた答えより大きくなり、（３）の値を用いた足し算が有効であるようですが何故でしょうか？エネルギーが保存されないで最高点まで行くという運動とはどのような運動なのでしょうか？

　これまたそうですね。
　最高点の速度 vt に、単純に最高点で静止しない速度を加えてはいけませんね。

　最下点の運動エネルギーが、最高点の運動エネルギーに位置エネルギー 2mgL を加えたもの以上でなければいけません。

　(1/2)mvs^2 ≧ (1/2)mvt^2 + 2mgL

より

　　vs^2 ≧ vt^2 + 4gL = 5gL

よって

　　vs ≧ √5gL

ですね。

　失礼いたしました。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/08/16 14:19

質点を支えるのは棒なので、（３）は、最高点での速度がゼロ以上あればよい、ということで解きます。

最高点手前で速度がゼロになって、逆回転で落ちて来る、ということさえなければよいのです。

これが、（４）のように棒が「糸」である場合には、糸の張力がゼロになると「円軌道」から落ちて来るので、最高点でも遠心力が質点の重力より大きくなるだけの速度が必要ということになります。

つまり、（３）では、最高点に行ったときの「位置エネルギ－」よりも、最下点にあるときの「運動エネルギー」の方が大きいことが必要です。そうすれば「力学的エネルギー保存」で、最高点での速度が「ゼロ以上」になります。

最下点にあるときの運動エネルギー
　　Ev = (1/2)mvb^2

最高点にあるときの位置エネルギー
　　Ep = 2mgL

で、Ev ≧ Ep であればよいので
　　(1/2)mvb^2 ≧ 2mgL

これを解けば、vb ≧ 0 なので
　　vb^2 ≧ 4gL
　　vb ≧ 2√(gL)

（４）は、上に書いたように、最高点での速度を vt としたときに、遠心力
　　F = mLω^2 = mvt^2/L
が重力 mg 以上である必要があるので
　　mvt^2/L ≧ mg
よって、vt ≧ 0 なので
　　vt ≧ √(gL)

最高点でこの速度であるためには、最下点では（３）の結果を加えて
　　vs ≧ 2√(gL) + √(gL) = 3√(gL)

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！

２点質問があるのですが、
（３）にて棒の位置エネルギーは式に組み込まれないのでしょうか？

また（４）にて
最高点の速度が出た跡、最高点と最下点の力学的エネルギー保存より最下点の速度を出すことも可能ですがそれだと、回答していただいた答えより大きくなり、（３）の値を用いた足し算が有効であるようですが何故でしょうか？エネルギーが保存されないで最高点まで行くという運動とはどのような運動なのでしょうか？

お礼日時：2016/08/16 23:46

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/08/16 11:42

>(3)は回転エネルギーの保存を使うのでしょうか？

回転エネルギーは保存しません。
使うのはカ学的エネルギー保存則です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！

お礼日時：2016/08/16 23:46