ｘ＝ｙ＝0の否定について(再度投稿します)

以下の背理法の問題解説の中で、「ｘ＝ｙ＝0の否定はｘ＝0またはｙ＝0でｘ＝ｙ＝0となるので、ｘ≠0かつｙ≠0を仮定する。」と説明を受けたのですが、なぜｘ＝ｙ＝の否定はｘ＝0またはｙ＝0になるのでしょうか。ｘ≠0またはｙ≠0がｘ＝ｙ＝0の否定だと思います。
「ｘ＋√3ｙ＝0ならばｘ＝ｙ＝0を証明せよ。(ｘ、ｙ∊Q)(√3は無理数)」

質問者からの補足コメント

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  丁寧な回答ありがとうございます。
  私の質問は、ユーチューブの「論理と集合が超わかる！」という動画の１８、背理法の復習⑴の説明内容と板書を一部まとめたものです。
  説明の最初の方なので、お時間があればご覧ください。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/08/28 08:55

No.6 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/08/29 00:11

No.4です。

「補足」に書かれたYouTubeの動画を見ました。

要するに
（１）x=y=0 の否定は、x≠0 または y≠0 である。
（２）ただし、x≠0 のときに、もし y=0 ならば、x＋(√3)y＝0 から x=0 となってしまい、ｘ≠0 のときにも ｙ≠0 でなければいけない。
（３）y≠0 のときにも同様。
（４）なので、初めから「x≠0 かつ y≠0」を仮定して背理法を適用する。
という全体のプロセスを説明しているだけですね。

「x=y=0 の否定は x≠0 かつ y≠0 である」という「論理」のことをいっているわけではありません。

要するに「x≠0 または y≠0 」とすると、
　(√3)y＝ -x
から、x≠0 と仮定するか y≠0 と仮定するかで
　x/y = -√3
とするか
　ｙ/x = -1/√3
とするかの「2通り」の証明が必要になるものを、「x≠0 かつ y≠0」とすることで「１通り」ですませる、ということで簡素化できます。

その「背理法」そのものの「簡素化」のために、前提条件の方を上に書いた（１）～（４）として最初に説明しているのです。

この回答へのお礼

判り易い説明をありがとうございました！

お礼日時：2016/08/29 10:31

No.5 回答者： 素人Z 回答日時： 2016/08/27 16:58

ミスがあったので訂正します。

（誤）√3y=-(x/y)

（正）√3=-(x/y)

（証明）

x+√3y=0 ･･･(1) のとき √3y=-x

y≠0 と仮定すると、√3=-(x/y)

x, y は有理数より、-(x/y) は有理数であるから、√3 が無理数であることに矛盾する。

したがって、y=0 である。

(1) より、x+0×√3=0 であるから、x=y=0 である。　（証明終わり）

この回答へのお礼

大変参考になりました！

お礼日時：2016/08/29 10:32

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2016/08/27 15:27

もう一つの質問の方も見ましたが、どうも書かれた日本語の意味がはっきりしません。

「ｘ＝ｙ＝0の否定はｘ＝0またはｙ＝0でｘ＝ｙ＝0となるので、ｘ≠0かつｙ≠0を仮定する。」
は
（１）「ｘ＝ｙ＝0の否定は『ｘ＝0またはｙ＝0』なので、（背理法として）『ｘ≠0かつｙ≠0』を仮定する。」（「ｘ＝ｙ＝0となるので、」の位置付けが不明）
（２）「ｘ＝ｙ＝0の否定は、ｘ≠0かつｙ≠0を仮定する。なぜなら、ｘ＝0またはｙ＝0でｘ＝ｙ＝0となるので。」
のように解釈できますが、いずれも正しくはありません。

だったら、単なる「間違い」で済ませればよいのか？

もとの文章が、実は『ｘ＝ｙ＝0』ではなく『xy = 0』なら意味が通るかもしれません。
「『xy = 0』の否定は、ｘ＝0またはｙ＝0で『xy = 0』となるので、（背理法として）ｘ≠0かつｙ≠0を仮定する。」

ご質問に書かれた文章は、本当にオリジナル通りですか？

No.3 回答者： 素人Z 回答日時： 2016/08/27 13:46

＞ｘ≠0またはｙ≠0がｘ＝ｙ＝0の否定だと思います。

僕も、x=y=0 は x=0 かつ y=0 なので、x=y=0 の否定は、x≠0 または y≠0 だと思います。

No.2 回答者： 理系好きの人 回答日時： 2016/08/27 13:43

質問者様の答えが正しいと思います。

ｘ≠0かつｙ≠0だけではxとyどちらか一方のみ0の場合を論じることができないので背理法を使うことができません。（ベン図から分かる）
背理法は定理が成り立たない場合矛盾が出てくることを示して定理を示すので全ての可能性を考える必要があります。

proof
x≠0またはy≠0と仮定する。
x+√3y=0
√3y=-x
x,yのどちらか一方のみが0のとき矛盾するのは自明（0と0でない数が等しくなってしまう）
x,y≠0のとき
（無理数）=（有理数）となり矛盾
よって題意は示された。〈Q.E.D.〉

一般に√3でなくても√の中味が平方数でなければ成り立ちますし√3の部分が無理数でさえあればこの定理は成り立ちます。（e,πなど）

因みにx+√3yという形の式はベクトル空間をなします。（学校では矢印と教わりますが大学では定義を拡張して考えます）
そのように考えると1,√3という基底が一次独立であると言えます。
興味があれば線型代数学で調べてください。

この回答へのお礼

再度回答していただきありがとうございました！
大変分かりやすかったです。

お礼日時：2016/08/29 10:33

No.1 回答者： 素人Z 回答日時： 2016/08/27 13:41

x, y は有理数でよろしいですね。

（証明）

x+√3y=0 ･･･(1) のとき √3y=-x

y≠0 と仮定すると、√3y=-(x/y)

x, y は有理数より、-(x/y) は有理数であるから、√3 が無理数であることに矛盾する。

したがって、y=0 である。

(1) より、x+0×√3=0 であるから、x=y=0 である。　（証明終わり）