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変動率について悩んでいます。どなたか解消していただけないでしょうか?

Q. ある商品が、プラスマイナス10%で値上げ値下げを繰り返し続けるとどうなるか?

A. 単価100円として、例えば規則的に100×1.1×0.9×1.1×0.9×を続けていくと、、、70セットくらいで50円を切る。なんかおかしい。

この条件でいうと、減少の方は(100+10)%で割ると元にもどる、つまり割り戻せばよいのですが、一般には上記のように(100−10)%をかけますよね。それは簡便法かしら。増減率が±50%にもなれば壊滅的です。それはそれで世の中はリスクに満ちているという教訓なのでしょうか?

よろしくお願いします。

A 回答 (6件)

100a%上げ、100a%下げると、元に戻るという命題はaが十分小さいときに(近似的に)成り立つにすぎず、aがちいさくないときは成り立ちません。

あなたが指摘されているように、正確には(1+a)倍したら、1/(1+a)倍しないともとに戻らない。なぜか?それは、a<1のとき、1/(1+a)を展開すると
1/(1+a) = 1 +(-a) + (-a)^2 + (-a)^3 + ・・・= 1 - a + a^2 - a^3 +・・・
となることからわかるように、aが十分小さいなら、(-a)^2項以降が無視できるので、1/(1+a)を1-aで近似できるが、aが小さくないときは(-a)^2項以降も無視できない、ということです。
経済学ではこういう例はたくさんあります。いくつか例を挙げておきましょう。
・名目GDPの成長率=実質GDPの成長率+インフレ率(GDPデフレータの上昇率)
・実質利子率=名目利子率ーインフレ率
・需要の価格弾力性が1より大きい(つまり需要が価格弾力的)なら、価格が下落すると、生産者の収入(売上金額)は増加する。
いずれも、近似的に成り立つ命題にすぎません。どこが「近似的」なのか考えてみてください。
それから、あなたの質問と関連ある事実として
・日本は戦後長い間ブレトン=ウッズ体制のもとで1ドル=360円の固定為替レートで国際取引をしてきましたが、1972年のスミソニアン合意で1ドル=308円に切り上げられ、円はドルに対して16.88%の上昇(円高)となりましたが、このときドルは円にたいしていくら切り下がったでしょうか?答えは16.88%の切り下げではありません。なぜでしょうか考えてみてください。
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この回答へのお礼

変動率が比較的小さい範囲で近似的に使われていると理解します。事例も丁寧に説明いだたきありがとうございました。

お礼日時:2016/10/10 19:19

No4の訂正です。

No4で

100 ×(1+a)×1/(1+a)×(1+a)×1/(1+a)×・・・×・・・=100

と書きましたが、正しくありませんでした。N回繰り返した時の積の値を前と同じようにΠ(1,N)で表わすと

Π(1,1)= 100
Π(1,2)=100(1+a)
Π(1,3)= 100
・・・
Π(1,N)=100       Nが奇数のとき
    = 100(1+a)     Nが偶数のとき

となりますから、「割り戻し」列であるΠ(1,N)はいつまでも同じ幅で振動し、極限はありません(100には収束しません)。したがって、上の等式のように書くことはできません。
これに対して、1/(1+a)の代わりに(1-a)を用いた(あなたのいうところの簡便法を用いた)積の列は振動しますが、振動の幅はだんだn小さくなり、0に収束することに変わりありませんので、訂正の必要はありません。
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NO4ですが、いくつか誤植があるのを見つけたので訂正します。


[ ]の部分が付け加えたり、訂正した部分です。

・しかし、1/(1+a)の代わりに1-aを用いると(NO1で説明したように、1/(1+a)はaが小さいときは1-aで近似できる)、
100× (1+a)×(1-a)×(1+a)×(1-a)×・・・×・・・
と[なり」、0に収束する(無限に繰り返すと、0に限りなく近づく)。

・では、[どうして] 1/(1+a)を(1-a)で置き換える[ことができる]のでしょうか?

・なぜaが小さいほど、1/(1+a)を1-aで近似したときの誤差が小さくなる[のだろうか?この]ことは私の回答NO1で説明しました。

・1 + b + b^2 + b^3 + ・・・+ ・・・ = 1/(1- b)

と、右辺が分母は(1+b)ではなく、(1- b)の間違いなので、訂正してください。
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NO1ですが、何を質問しようとしているのか、いまひとつわからない。

いま一般的に、変動率をa(10%なら、a=0.1)とすると、あなたがおっしゃるように「割り戻す」なら、
100 ×(1+a)×1/(1+a)×(1+a)×1/(1+a)×・・・×・・・=100
と元に戻る。しかし、1/(1+a)の代わりに1-aを用いると(NO1で説明したように、1/(1+a)はaが小さいときは1-aで近似できる)、
100× (1+a)×(1-a)×(1+a)×(1-a)×・・・×・・・
とすると、0に収束する(無限に繰り返すと、0に限りなく近づく)。まずこれを説明しましょう。
いま、n回繰り返したときの積の値をΠ(1,n)と書こう。すると

Π(1,1)= 100
Π(1,2)=100(1+a)
Π(1,3)=100(1+a)(1-a)
・・・
Π(1,n) = 100(1-a^2)^(n-1)/2       nが奇数のとき
    = 100(1+a)(1-a^2)^(n-2)/2      nが偶数のとき

となるので確かめられたい。ただし、"^"の記号は累乗を表わす。したがって、0<a<1なら、0<(1-a^2)<1であるから、
nが無限大にいくと、Π(1,n)はゼロに収束することがわかる。aが1に近いほど、1-a^2は0に近い値になるので、急速に0に収束するのです(あなたのおっしゃる通り)。
では、1/(1+a)を(1-a)で置き換えるのでしょうか?何度も書いているように、aが小さいときは、1/(1+a)は1-aで近似できるからです。あなたのおっしゃる「簡便法」だからです。
では、1/(1+a)は1-aでどのくらい「近似」できるか?まず、
a=0.1(つまり10%)のとき、
1/(1+a)=0.909090・・・であるのに対し、1-a = 0.90000と、前者から後者を差し引いた誤差=0.0090909・・・
a=0.01(つまり1%)のとき
1/(1+a)=0.990099・・・であるのに対し、1-a=0.990000であり、誤差=0.00099・・・
と誤差はaが小さいほど、小さくなることがわかるでしょう。
なぜaが小さいほど、1/(1+a)を1-aで近似したときの誤差が小さくなることは私の回答NO1で説明しました。aが10%のような「大きい」値の時は、3回繰り返すぐらい(つまり上の式でいうと、n=3)なら、「誤差」は目立たないが、繰り返せば繰り返すほど、誤差が目立ってくるのです。
NO1で書いたように、0<a<1のとき、

1/(1+a) = 1 +(-a) + (-a)^2 + (-a)^3 + ・・・= 1 - a + a^2 - a^3 +・・・        (*)

がなぜこのように展開できるのか、もう少し説明してみましょう。いま、-1<b<1のとき、等比級数の和の公式として(高校で)習ったように、

1 + b + b^2 + b^3 + ・・・+ ・・・ = 1/(1+b)

となる。0 <a <1だから、いまb=-aをこの公式に代入すると、上の式(*)が得られる。(*)からわかるように、1/(1+a)を1-aで近似することは、(*)の右辺の第3項以降を無視することになる。aが小さいときは、第3項以降は0に近い小さい値をと
るので、無視しても誤差は大きくないが、aが大きいときは、第3項以降が無視できなくなる、ということです。それは、a=0.1とa=0.01のときの違いで見た通りです。では、1/(1+a)の代わりに1-aを用いるのかというと、「簡便」だからです。1/(1+0.2) = 0.833333・・・をすぐ暗算で計算できますか?簡便法の1-aを使えば、1-0.2=0.8とすぐに(暗算でも)計算できるからです。繰り返しが1回ぐらいなら、これで十分正確です。

NO1で宿題(?)を出しておいたように、いま名目GDPが3%で成長したとし、GDPデフレータの上昇率(インフレ率)が2%だったとしましょう。実質GDPの成長率はいくらか?簡便法では3-2=1(%)とすぐ計算できますが、より正確には
(1+0.03)/(1+0.02)=1.0098039・・・=0.98%となるが、これを暗算でできる人はいますか?
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No.2 回答者xs200さんの回答の通りだと思います。



Q. ある商品が、プラスマイナス10%で値上げ値下げを繰り返し続けるとどうなるか?

A. (普通は)「ある価格を基準にして、その10%相当の額で値上げ、値下げを繰り返すのかな?」と想像し、そんな変動を規則正しくすることが明らかなら、高値のときには売れ行きが落ちるだろうなと考えるか、そんな商売をすれば、了解可能な特別の事情がなければ、【値上げ値下げを繰り返し続けるとどうなるか?→商売の信用を失って行く】と考えるでしょう。

A'.(特殊な思考をする人がいて)例えば、単価100円として、×1.1×0.9×1.1×0.9×を続けていくと、、、70セットくらいで50円を切ると計算するなら、これは、(1+0.1)(1-0.1)=1-0.1^2 → (1+x)(1-x)=1-x^2 【それって、値上げ値下げを繰り返し続けるのではなくて、値下げを延々と続けるということをごまかして隠しているだけジャナイか!】と思うでしょう。
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>一般には上記のように(100−10)%をかけますよね。



プラスマイナス10%で値上げ値下げを繰り返し続けるとどうなるか?
という問題なのですから、「一般には」ではありません。
「当初の価格の」プラスマイナス10%を繰り返し続けたら、でしたら元に戻ります。
悩む問題ではありません。指示どおりに考えればいいだけです。

>100×1.1×0.9×1.1×0.9×を続けていくと、、、70セットくらいで50円を切る。なんかおかしい。

おかしくありません。
(1+x)(1-x)=1-x^2
です。1からx^2を引いているのですから変動率が大きければ大きいほど減少します。x=50%なら1ターンで75%に減ります。

>リスクに満ちているという教訓なのでしょうか?

こういうレバレッジをかけた商品は繰り返し=時間が敵ですから、長期投資をするなという教訓です。
http://www.jpx.co.jp/equities/products/etfs/etf- …
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