①(x+1)(x-5)≦aa＝7の時①を満たす整数xはちょうど９個ある。この時、 ①を満たす整数xが

①(x+1)(x-5)≦aa＝7の時①を満たす整数xはちょうど９個ある。この時、
①を満たす整数xがちょうど13個あるとする。この時、aの取り得る値の範囲は？？≦a<？？である。わかる方がいたら教えていただきたいですよろしくお願いします(._.)
答 27≦a<40

No.6 回答者： tekcycle 回答日時： 2016/10/20 22:13

ｙ＝(ｘ＋１)(ｘ－５)とういのは、ｘ＝－１,５でｘ軸と交わる二次曲線です。

そのど真ん中のｘ＝２が軸。
例えばａ＝０であれば、ｘ＝－１,０,１,２,３,４,５、のときに整数解があります。ｘが整数になるのはａ＝０ならそれだけで、ｘが整数なら与式からｙは必ず整数になります。
例えばａ＝７であれば、更に、ｘを右側に一つ増やしてｘ＝６のとき、ｙ＝(ｘ＋１)(ｘ－５)＝７×１＝７。丁度７になる。対称的に、グラフの右側でも同じ事が起こるので、ｘ＝－２,ｘ＝６、の二つが加わり、丁度９つとなります。
じゃぁｘを左右２つずつ増やしてみると(１３個－９個を左右だから２で割ると２個ずつ)、ｘ＝－３,－４,７,８が加わり、合計13個。
ｙの最大値はｘ＝－４,８の時で、ｙ＝(ｘ＋１)(ｘ－５)＝９×３＝２７。(軸の左側もこれと対象)
ａがこれより大きければ整数が13個以上。
更にｘを左右にもう一つずつ増やしてやると、ｘ＝９でｙは、１０×４＝４０。(軸の左側もこれと対象)
これだと解が15個になってしまうので、ａはこれよりは小さい値。
従って、２７≦ａ＜４０。

No.5 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2016/10/20 11:55

放物線 y=(x+1)(x-5)　と　直線 y=a のグラフを利用して考えると、

y=(x+1)(x-5) ・・・・・②
y=a ・・・・・③
とおくと
y=x^2-4x-5=(x-2)^2-9
となり、軸は直線 x=2 の下に凸の放物線

①を満たす整数 x つまり
y=(x+1)(x-5) のグラフにおいて、直線 y=a から下側の部分で、
この範囲内にある整数 x が13個

放物線は軸に関して左右対称だから、グラフの右半分で考えると、x の最大値は
(13-1)÷2=6
より
2+6＝8
これから、グラフ②、③の交点の x 座標は
8≦ｘ<9

②に x=8 を代入して　y=9×3=27
②に x=9 を代入して　y=10×4=40

a のとりうる値の範囲は
27≦a<40


放物線は軸に関して左右対称だから、
x=3 が答えの１つであれば、x=1 も答えになるし、
x=6 が答えの１つであれば、x=-2 も答えになる。

ちなみに、①を満たす13個の整数 x は
x=-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5、6、7、8

No.4 回答者： 銀鱗 回答日時： 2016/10/19 23:35

やっぱり、

a＝7
などが抜けていましたか。

しかし、まだ突っ込みどころがあるんですよ。
分かるかな。

＞①(x+1)(x-5)≦aa＝7の時①を満たす整数xはちょうど９個ある。この時、
＞①を満たす整数xがちょうど13個あるとする。
「9個なのか13個なのかハッキリしろ」
と突っ込もう。

No.2の回答では
＞として、α ～ β の間に整数が13個ある条件は～
と、設問の解釈が突然飛躍しているんですね。
（これは結果的に正しいと思うのですが、この設問からは導き出すことができません）

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/10/19 23:13

No.1取り消し

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/10/19 23:11

(x+1)(x-5)≦a で a=7 のとき

　(x+1)(x-5)≦7
つまり
　x^2 - 4x - 5 - 7
= x^2 - 4x - 12 ≦ 0
= (x - 6)(x + 2) ≦ 0
よって
　-2 ≦ x ≦ 6
で、この範囲に正数は９個あります。

①を満たす整数xがちょうど13個あるとすると、
　　(x - α)(x - β) ≦ 0
として、α ～ β の間に整数が13個ある条件は
　12 ≦ β - α < 14　　　②
です。また、根と係数との関係から
　α + β = 4　　　③
　α*β = - 5 - a　　④
ということです。
　これより

(1)　β - α = 12 　　⑤
のときには、これと③から
　　β = 8
　　α = -4
④より
　　a = 27

(2)　β - α = 14 　　⑥
のときには、これと③から
　　β = 9
　　α = -5
④より
　　a = 40

(2) は境界でこれを含まないことから
　　27 ≦ a < 40

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/10/19 23:10

問題文に見落としとか、書き間違いがある筈。

27≦a<40　だとするとa=0でもよい事になり、a=0で調べると、
(x+1)(x-5)≦0
これを満たす整数は、-1、0、1、2、3、4、5の７個しかない。

a=27なら、（x+4)(x-8)≦0となり、確かに13個ある。

何か問題の出し方にミスがある。