曲線y=f(x)上にあるA(x,y)の接線とy軸の交点をBとした時、線分ABはx軸によって二等分される。上記の条件を満たし、(2,1)をとおる曲線求めよ、という問題について
上記の問題で解き方が腑に落ちず困っています。理解された方、教えていただきたいのですが、
回答では、Bはy軸の交点にあることから、x=0であるので、接点の方程式に代入すると、
y=y−xy'
となり、線分ABは二等分されるのでA,Bのy座標の絶対値は等しい、とありました。
しかし、その後の式で、
y−xy'=−y
とありましたが、上記右辺の−yはBのx=0をy−xy'へ代入したものであると考えているのですが、
なぜ接線の方程式にBのx=0を代入し、y座標y−xy'を求めた後、その後再びy−xy'へx=0を代入しているのでしょうか?
説明が長くて申し訳ないです。
みなさんにお力を貸していただければと思います。よろしくお願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
あー、主さんは曲線上Aの座標(x、y)とAのところの接線の上の座標を混同していますね。
Aのところの接線の方程式はx、yとはちがうX、Yをつかわなくてはならない。
これを使うと、接線の方程式は、A(x、y)を通り、傾きy'の直線だから、
Y―y=y'(X―x)、これからBのy座標は左の式にX=0を入れて
Y=y―xy'・・・① と出てくる。
そして、このy切片Yは条件からAのy座標yと真反対だからY=―y、これを①に入れて
―y=y―xy'・・・②
この①②のことを解説の式は言っていますよ。
なるほど!確かにxが0ならBのyの座標はAの真反対でないと二等分されないですもんね。納得できました!ありがとうございます(^_^)
No.2
- 回答日時:
質問者さんの説明なのか、解答例の記載なのか分かりませんが、変数の x, y と、その「特定の値」(たとえば点Aの座標)の区別がついていないので、「大混乱!」ですよ。
きちんと「頭」と「解答」を整理して書きましょう。以下では、問題を
「曲線y=f(x)上にあるA(p, q)の接線とy軸の交点をBとした時、線分ABはx軸によって二等分される。上記の条件を満たし、(2,1)をとおる曲線求めよ」
として記載します。
曲線y=f(x)上のA(p, q)における接線の傾きは
f'(p)
なので、接線の方程式は
y = f'(p)*x + k ①
と書けます。
(a) この①の y 軸との交点Bは、「接線の方程式①に x=0 を代入して」 (0, k) ということです。
←※「Bはy軸の交点にあることから、x=0であるので、接点の方程式に代入すると y=y−xy' となり」というのがこれ
(b) 題意より f'(p)≠0、k≠0 なので、①の x 軸との交点はCは、「接線の方程式①に y=0 を代入して」 ( -k/f'(p), 0) となります。
(c) CがAとBの中点であるためには、A~C,C~B間の x座標、y座標が
q - 0 = 0 - k ←※「線分ABは二等分されるのでA,Bのy座標の絶対値は等しい」というのがこれ
p - [-k/f'(p) ] = -k/f'(p) - 0 ←※「その後の式で、y−xy'=−y とありました~」というのがこれかなあ?
であることが必要です。
これから
q = -k
f'(p) = -2k/p = 2q/p
となりますので、①は
y = (2q/p)*x - q ②
となります。
これが(2, 1)を通るので
1 = (2q/p)*2 - q = (4q/p) - q
よって、q ≠ -1 なので
1 + q = 4q/p
p = 4 / (1 + q)
②に代入して
y = [ (1 + q)/2 ]*x - q ③
いずれにせよ、質問者さんの疑問は、(a)(b)(c) あたりのことを言っているのだと思います。少し頭と記号を整理して確認してみたらどうでしょうか。
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