住宅ローンの残元金は累乗と等比数列の和の組合せ？

住宅ローンの仕組みがわからず、調べたり数式を解いたりしてます。
その中で、支払額の基準となる残元金の数式を整理してみました。

住宅ローンの支払方法は元利均等返済とし、
元金をa0円、利率をR(0<R<1)またはr(=R+1)、i回目の返済額をx円とする。

各回の残元金を求める。
1回目の返済後の残元金 a1=a0+a0*R-x=a0*(1+R)-x=a0*r-x
2回目の返済額の残元金 a2=a1+a1*R-x=(a0*r-x)*r-x=a0*r^2-r*x-x=a0*r^2-x*(r+1)
3回目の返済額の残元金 a3=a2+a2*R-x=(a0*r^2-r*x-x)*r-x=a0*r^3-x*r^2-x*r-x=a0*r^3-x*(r^2+r+1)
‥‥
i回目の返済額の残元金 a(i)=a(i-1)+a(i-1)*R-x=a0*r^i-x*r^(i-1)-x*r^(i-2)-...-x*r^2-x*r-x=a0*r^i-x*(r^(i-1)+r^(i-2)+...+r^2+r+1)

ここでx*(r^(i-1)+r^(i-2)+...+r^2+r+1)は初項x、公比r、項数iの等比数列の和なので
x*(1-r^i)/(1-r)となる。a(i)に戻すと

a(i)=a0*r^i-x*(1-r^i)/(1-r)

となる。

この時、1項目の
a0*r^i
はi=1の時にa0*rになる累乗の関数になる。

また、2項目の
-x*(1-r^i)/(1-r)
はi=1の時に-xになる(マイナスの)等比数列の和になる。

よって、残元金は累乗の関数 a0*r^i から等比数列の和 x*(1-r^i)/(1-r) を引いたものになる。

で、考えて方は間違ってませんか。

教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/11/25 09:17

＞よって、残元金は累乗の関数 a0*r^i から等比数列の和 x*(1-r^i)/(1-r) を引いたものになる。

　考え方はあっていると思います。
　要するに
「元金の複利計算での増大から、返済金の複利計算での返済分を引いたもの」
ということです。元金、返済金をそれぞれ別個に複利計算していることに相当します。
　早く返した返済金は「返済時点～ｉ回目」の期間の複利計算で「ｉ回目時点の現在価値」が増えているということです。

　式で計算すると質問文に書かれたようになりますが、エクセルなどを使って毎回の残元金と返済額を表にすると、その辺の残元金の経過と返済総額が分かります。（その場合は、上の式ではなく、前の行から1年分の金利を使って次の行を計算するという、コピペで作成できます）
　変動金利の場合で途中で金利が変わった場合や、「繰り上げ返済」をするとどう返済期間や返済総額に影響するかなどを試算できて便利ですよ。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
少し諦めていたので、嬉しいです。
「元金の複利計算での増大から、返済金の複利計算での返済分を引いたもの」というのはわかりやすいですね。
等比数列の和が複利計算なのかは、微妙だと思ってますが、認識は合います。
Excelやシミュレーションのサイトで、色々試せますが、数式でないと何がポイント（効くのか）かわかりません。
繰上げ返済がいいのか、資産の運用がいいのか、生前贈与するのがいいのかなど。。。
しかし、Excelやサイトがない時代の人はどこまで、わかっていたのでしょうか。

お礼日時：2016/11/25 12:35