【難問】解析学の問題です

周波数空間に置いて定義される関数G(ω)を実空間で-T0<t<T0.tは時間、T0は正の定数、の間生成した。生成された信号をサンプリング周波数2ωでサンプリングし、フーリエ変換（DFT）を行い周波数スペクトルG(ω)を得た。ここでωは各周波数である。
得られた周波数スペクトルG'(ω)元の周波数スペクトルG(ω)に違いがあれば答えよ。

G(ω）＝A、ω１＜ω＜ω２
　　　＝０、ω＜ω１、ω＞ω２

ここで、A,ω１、ω２は正の定数で、０＜ω１＜ω２

質問者からの補足コメント

• もう終わったテストなので急いでないのですが、答えが全くわからないので分かる方いたら教えていただきたいですm（__）m
  
  ちなみに、生成された信号をのあとのサンプリング周波数２ωとありますが正しくはサンプリング周波数2ω2でした。

    補足日時：2016/11/29 09:31

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2016/12/07 07:26

G(ω)の逆フーリエ変換である複素数値関数をg(t)とします。

　　h(t) = |t|＜T0 のとき1, さもなくば0
という関数とすると、実空間で生成された関数は（g(t)ではなく）g(t)h(t)です。
これをサンプリングしたということは
　　s(t) = ∑(δ(t-2πn/(2ω)) (∑はn=-∞〜∞の整数に関する総和）
という関数を使って
　　g(t)h(t)s(t)
を作った。ここでh(t)s(t)は
　　M=ωT0/π
とするとき
　　h(t)s(t) = ∑(δ(t-2πn/(2ω)) (∑は|n|<Mとなる整数nに関する総和）
とも書けます。すなわち
　　g(t)h(t)s(t) = ∑(g(t-πn/ω)δ(t-πn/ω)) (∑は|n|<Mとなる整数nに関する総和）

さらにDFTを用いた。DFTの周期がいくらであるかによるわけですが、素直にM＜Nだろうと仮定してみれば、DFTの結果は下記の関数fのフーリエ変換をサンプリングしたものと同じで、ただし
f(t)は周期πN/ωを持つ周期関数で、
　　|t|≦πM/ωのとき、
　　　　f(t) = ∑(g(t-πn/ω)δ(t-πn/ω)) (∑は|n|<Mとなる整数nに関する総和）
　　πM/ω＜|t|≦πN/(2ω)のとき、
　　　　f(t) = 0
というもの。

No.2 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2016/12/04 04:04

数学（解析学）の授業ではなくて、工学の授業ということですかね。

数学の問題にしては、ちょっと出題が変です。

とりあえず言えることは、まず、離散フーリエ変換ではエイリアシングがあるので、G'(ω)はω2以上では0にはならず、0〜ω2の間の値が周期的に繰り返されます。

それから、0〜ω2の範囲でも、T0が無限大なら、一致することになりますが、T0が有限だとすると一致しません。
で、どう一致しないかは、真面目に、フーリエ逆変換→DFT、を計算してみないとわからないですが、その問題文のG(ω)は実部しかなくて虚部が与えられていないので（実関数のフーリエ変換は必ず虚部もあります）、計算することはできません。
というわけで、真面目に回答しようと思うと、問題に不備があります。

この回答へのお礼

そーなんですか！ありがとうございます！何も書けませんでした＼(‘ω’)／一応解析学の授業なのですが、先生が元々工学部の出らしく、こういう問題なのかもしれないです(__)ありがとうございました！

お礼日時：2016/12/04 19:03

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/11/28 12:01

で質問は何ですか? まさか「答えを教えてほしい」などとは言いませんよね?