空間図形の考え方を教えてください。

図のような直方体ABCD-EFGHにおいて、
AE=√10，AF=8，AH=10とする。
このとき、FH＝[アイ] であり、cos∠FAH＝[ウ]/[エ] である。
また、三角形AFHの面積は [オカ]√[キ]である。
したがって、点Eから三角形AFHに下ろした垂線の長さは [ク]√[ケコ]/[サ] である。

<答え>
FH＝[アイ]：FH＝12
cos∠FAH＝[ウ]/[エ]：cos∠FAH＝1/8
[オカ]√[キ]：15√7
[ク]√[ケコ]/[サ]：3√42/7

さっぱりわからないので途中式など詳しく教えていただけると助かります…。
宜しくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/01/12 23:22

まずFHの求め方ですが、AEとAFの長さが分かっているので、EFが√54となります。

同様にAEとAHが分かっているのでEHが√90になります。
この２つからFHが√144＝12と分かります。

cos∠FAHですが、言い換えればHからAFに垂線をおろし、Aからその点までの長さをAHの長さで割った物になります。
垂線の長さをhとして、Aから交点までの距離をｘとした時、h=√（10^2-x^2）=√（12^2-(8-x)^2）という式になります。
100-x^2=144-64+16x-x^2　→　20=16x　→　x=5/4
cos∠FAH=5/4÷10＝1/8となります。

△AFHの面積は先ほどのhを求めて
h=√（100-25/16）＝√1575/4=5√63/4＝15√7/4
8*15√7/4÷２＝15√7　です。

Eからの垂線の長さを求めるには、まず三角錐AFHEの体積を求めます。
AE＝√10、EF＝√54、EH＝√90と分かっているので、
√10*√54÷2*√90÷3＝√（10*9*6*9*10）÷6＝90√6÷6＝15√6　となります。
これは先ほど求めた△AFHの面積×Eからの垂線の長さ（ｍとする）÷3に等しいことから、
15√6＝15√7*ｍ/3
ｍ＝3√6/√7=3√42/7　となります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
分かりやすくて助かりました♪

お礼日時：2017/01/13 05:40