数列の解説で、左辺の加えた後が飛躍してわからない (n+1)^3 - 1^3 にどうしてなる？

いろいろな数列というジャンルで

恒等式 (k+1)^3 - k^3 = 3 * k^2 + 3 * k + 1 において

k=1 とすると 2^3 - 1^3 = 3 * 1^2 + 3 * 1 + 1
k=2 とすると 3^3 - 2^3 = 3 * 2^2 + 3 * 2 + 1
k=3 とすると 4^3 - 3^3 = 3 * 3^2 + 3 * 3 + 1
...
k=n とすると (n + 1)^3 - n^3 = 3 * n^2 + 3 * n + 1

これらのn個の等式を辺々加えると

(n+1)^3 - 1^3 = 3*(1^2+2^2+3^2+...n^2) + 3*(1+2+3+...+n) + n

わからないのは、左辺の

(n+1)^3 - 1^3 にどうしてなるのかです。

右辺は見たとおりですが、左辺は？？？です。

No.4 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/01/13 19:09

2³ - 1³

3³ - 2³
4³ - 3³

2³と- 2³で0
以下同じ繰り返し

この回答へのお礼

私のレベルでは、一番わかりやすかったです。

お礼日時：2017/01/13 20:46

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/01/13 17:36

k=1の左辺の第1項とk=2の左辺の第2項を見てください。

同じ2^3で後者はマイナスの符号がついていますね。

k=1の式とk=2の式を足すとこの二つの項が打ち消し合い3^3-1^1の残ります。

同様に3^3,4^3,...,(n-1)^3が打ち消し合い消えてしまうのです。

この回答へのお礼

もう少しで分かるような回答も為になります。

お礼日時：2017/01/13 20:53

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/01/13 17:35

難しく言えば「階差数列」とかになるけど簡単にいえば

(c-b) + (b-a) = c-a
ってことだ.

この回答へのお礼

このような短い解説でわかりようになりたいです。

お礼日時：2017/01/13 20:51

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/01/13 17:33

3n² + 3n + 1が一般項だから

Σ(3n² + 3n + 1)=
3Σn² + 3Σn+ Σ1

ここで公式を使う(何故そうなるかは勉強の事)

Σn²=n(n+1)(2n+1)/6 = (2n³ + 3n² + n)/6
∴3Σn²= (2n³ + 3n² + n)/2

Σn=n(n+1)/2 =(n² + n)/2
∴3Σn=(3n² +3 n)/2

Σ1=n = 2n/2

全部足すと(2n³ + 3n² + n + 3n² +3 n + 2n)/2
=(2n³ + 6n² + 6n)/2
=(n³ + 3n² + 3n)
=(n³ + 3n² + 3n +1) - 1
=(n+1)³ - 1
=(n+1)³ - 1³

この回答へのお礼

こういう丁寧な回答も勉強になります。

お礼日時：2017/01/13 20:49