2017年度千葉県立高校入試数学

今年2017年度、千葉県立高校入試第4問目の(2)の答えは√6-1なのですが、解き方がわかりません。
http://www.tokyo-np.co.jp/k-shiken/17/cba/cba1/c …

http://www.tokyo-np.co.jp/k-shiken/17/cba/cba1/c …

お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2017/02/18 15:34

(2)は、（1）で導いた、△ＡＢＤ≡△ＡＣＥ　と　三角形ＡＤＥが正三角形であることを使います。

三角形ＡＢＤにおいて、
まず、初めの条件から、三角形ＡＢＣは正三角形なので、ＡＢ＝ＢＣ＝3ｃｍ・・・①
また、△ＡＢＤ≡△ＡＣＥ　より∠ＡＤＢ＝∠ＡＥＣですが、
三角形ＡＤＥが正三角形なので∠ＡＥＤ=60°、したがって∠ＡＥＣ＝120°だから、
∠ＡＤＢ＝120°・・・②
また、条件よりＡＤ＝2ｃｍ・・・③

もう一度まとめると、
三角形ＡＢＤにおいて、ＡＢ＝3ｃｍ・・・①
∠ＡＤＢ＝120°・・・②
ＡＤ＝2ｃｍ・・・③
求めるＣＥをｘｃｍとおくと条件からＢＤもｘｃｍになります。

さてここで、三角形ＡＢＤ以外のすべての線や円を消して
三角形ＡＢＤだけに注目します。
そして線分ＡＤのＤの側に直線を延長して、Ｂからこの直線に垂線をおろし、
その足をＨとします。すると、この書き込みの②より
∠ＢＤＨ＝60°だから、ＤＨ＝ｘｃｏｓ60°、ＢＨ＝ｘｓｉｎ60°、となり、③とあわせて、
ＡＨ＝ＡＤ＋ＤＨ＝2＋ｘｃｏｓ60°

三角形ＡＢＨは直角三角形なので、三平方の定理より、ＡＢ²＝ＡＨ²＋ＢＨ²
この式に①と、さっき出したＡＨ、ＢＨの式を入れると
3²＝(2＋ｘｃｏｓ60°)²+(ｘｓｉｎ60°)² これをｃｏｓ60°＝1/2、ｃｏｓ²60°＋ｓｉｎ²60°＝1
に注意して展開して整理すると
ｘ²＋2ｘ－5＝0　がでてきて　ｘ＞0に注意してこれをとくと　ｘ＝√6－1がでてきます。
つまり求めるＣＥ＝√6－1　ｃｍ　です。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2017/02/25 15:50