高校数学 空間ベクトルでの垂線の足についての質問です。

空間ベクトルで、ある点からある平面に垂線の足を下した時、その長さがある点から、ある平面の任意の点までの長さ以下であることの証明方法を教えて下さい！
ある参考書に次の証明方法が載っていましたが、よく分かりませんでした。因みにP,Qはベクトルを表すことにします。
Pはある点からある平面上の点へのベクトルを、Qはある点からある平面へ垂直なベクトルをあらわす。
|P|^2=|P-Q+Q|^2=|P-Q|^2+|Q|^2+2(P-Q)Q
=|P-Q|^2+|Q|^2（∵P-QとQは垂直ゆえ内積が０）
よって、P=Qのとき、すなわちPが垂線の足のとき、Pの長さが最小となり、その値が｜Q|である
ご回答宜しくお願いします！<(_ _)>

No.4 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/03/11 03:44

Q が垂線の足でなければ P-Q と Q が垂直とは限らない (cf. 三垂線の定理) ってだけの話だとは思うんだけど, これもとの文章がひどいねぇ.

「ある点からある平面に垂線の足を下した時、その長さがある点から、ある平面の任意の点までの長さ以下である」って書いてるけど
・2つの「ある点」が同一とは限らない
・同じく 2つの「ある平面」が同一の平面とは限らない
と解釈するのが普通だよ.

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！内積が０にならないということですね。

なるほど、確かに回答者さんの解釈になりかねませんね、、、気を付けます！

お礼日時：2017/03/11 12:08

No.3 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/03/11 01:26

質問の意味がよく分からなかったので変な回答するかもしれませんが、

点から面への垂線をQとしたので、
|P|^2=|Q|^2+|P-Q|^2
が成り立っています。
逆に言えば、Qが垂線の場合のみ、平面上の任意の点までの長さ以下となります。
（Qが垂線でなかった場合は、それより距離の短い点が存在するということです）

聞きたい内容と合ってますでしょうか？

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2017/03/11 12:09

No.2 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/03/09 02:01

PとQを含む平面を図示すると、

Pを斜辺、Qを高さ、(P-Q)を底辺、とした直角三角形となる事は分かりますか？

それぞれの長さを2乗したものの関係式は
|P|^2=|Q|^2+|P-Q|^2
であることは分かりますか？

あえて式を長くすると、
|P|^2を変形て（書かれてるとおりですが）
|P|^2=|P-Q+Q|^2
=|(P-Q)+Q|^2
=|P-Q|^2+|Q|^2+2(P-Q)Q
(P-Q)⊥Qなので(P-Q)Q=0となり、
=|P-Q|^2+|Q|^2
となります。

変形すると
|Q|^2=|P|^2-|P-Q|^2
となりますね？
|Q|^2も|P|^2も|P-Q|^2も0以上の値なので、
Qの長さの2乗がPの長さの2乗以下であることが分かります。
それぞれの長さも0以上であるので、
Qの長さがPの長さ以下であることが証明されました。
よってある点からある平面への垂線の足の長さは、ある点からその平面上の任意の点までの長さ以下となります。

そしてPの長さが最小となるのは、
|P|^2=|Q|^2+|P-Q|^2より
|P|=√(|Q|^2+|P-Q|^2)が最小となる時なので、
|P-Q|^2が最小（つまり0）となる時、
よってP=Qの時、
Pの長さ|P|=√(|Q|^2+|Q-Q|^2)=√(|Q|^2+0)＝√|Q|^2＝|Q|で最小。

どの辺りが分かりにくいか教えていただければ、もう少し説明を考えてみます。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！
では、質問をさせて頂きます！
＞そしてPの長さが最小となるのは、
|P|^2=|Q|^2+|P-Q|^2より
|P|=√(|Q|^2+|P-Q|^2)が最小となる時なので、
|P-Q|^2が最小（つまり0）となる時、
よってP=Qの時、
Pの長さ|P|=√(|Q|^2+|Q-Q|^2)=√(|Q|^2+0)＝√|Q|^2＝|Q|で最小。

式変形は分かるのですが、最後のこの部分でQが垂線の足と定義していたから、垂線の足が長さ最小の地点になるのではないかと、思ってしまいます、、、間違いなく、とんちんかんなことを言っていることは承知の上ですが、Qを垂線の足でないとどうなってしまうのかを教えて下さい！多分そこがモヤモヤしている点です。
お手数お掛けしますが、ご回答宜しくお願いします！

お礼日時：2017/03/10 16:43

No.1 回答者： tekcycle 回答日時： 2017/03/08 23:23

その空間をくるくる回し、平行移動して、垂線の足を原点、平面をxy平面、ある点を(０,０,ｚ₁)、とすると、何だって話なんですか？

ｘｙ平面に接する球とその中心点の話でしか無いのでは？

で、その解答の何が解らないのですか？
ベクトルＰ-Qをちゃんと図示していますか？
Ｐ＋Qって、Ｐ進んで、その進んだ場所から更にＱ進むんですよね。
Ｐ－Qは、Ｐ進んで、その進んだ場所から更にＱ戻るんですよね。
上記で、ｘｙ平面上のどこかの点を、ｘｙ平面をｚ軸中心に回して、ｘ軸上に持ってきてやると、その点は(ｘ₁,０,０)ですよね。
Ｑは(０,０,ｚ₁)から(０,０,０)へのベクトル、Ｐは(０,０,ｚ₁)から(ｘ₁,０,０)へのベクトル。ベクトルの成分は各々どう書ける？
ｙ方向は無視できるんで、ｘｚ平面を図示しても考えて下さい。
Ｐ進んでＱ戻る。