場合の数、起こりうる場合（小学算数）の問題

Question

（問題）A、B、C、Dの４チームがサッカーの試合をします。それぞれどのチームとも１回ずつあたるようにするとき、試合の数は全部で何試合になるでしょう？ 

この問題の解き方をできるだけわかりやすく説明していただけないでしょうか？

※よろしくお願い致します。

takashi.kira1503 · Accepted Answer

こんな感じです。
丸のついている数を数えれば大丈夫です。
（見づらくてすみません）

これは総当たりのみに有効です。
ほかの当たり方などは使えないので注意してください（トーナメントなど）

yuji3690 · Answer

まず１チーム目を選びます。Aチームとします。
Aチームの対戦相手は３チームです。
次に２チーム目を選びます。Bチームとします。
BチームはすでにAチームとの対戦は数えられているので、相手は残り2チームです。
次に３チーム目を選びます。Cチームとします。
CチームはすでにAチームBチームとの対戦は数えられているので、相手は残りDチーム1チームだけです。
Dチームは最後の１チームなので、他の相手との全ての対戦は数えられています。
合計すると3+2+1=6試合となります。

しかしこの方法では10人居たとすると、9+8+7+6+5+4+3+2+1=？となります。
10人ならまだ頑張れますが、100人居たらこのまま数えるのは大変です。その場合は、
99+98+…+2+1　と書いた上か下に
1+2+…+98+99　と書きましょう。
同じものを前後逆にしただけなので、合計は同じです。
そして上下の組み合わせを見てみましょう。
99と1、98と2…全て合計は100となっています。
100の組み合わせが99個あるので、合計は100×99=9900です。
これは、同じものを2つ並べて合計したものなので、元の合計はこの半分です。
9900÷2=4950として簡単に計算できました。

この方法を使えば、チームの数×(チームの数-1)÷2として計算できますね。
今回の問題に当てはめると、チームの数は４なので、
4×(4-1)÷2=4×3÷2=12÷2=6試合となります。

Zincer · Answer

＞それぞれどのチームとも１回ずつあたるようにするとき
もう少し勉強すると、「順列と組合せ」という言葉がでてきて、
「４C2」：４個の中から、2個を選び出す組合せの組数
みたいに計算式もあるのですが、
http://yosshy.sansu.org/P&C.htm

簡単に言えば、
「A、B、C、Dの４チーム」の各チームの対戦相手は自分のチームを除いた３チームあります。ですから、
４×３＝１２試合
となりそうですが、あわててはいけません。
このままでは「順列」という考え方で、「野球のように専攻・後攻」や「ホーム・アウェイ」のように各チームが2回ずつ当たる試合数です。
例
Ａに対して、「Ｂ／Ｃ／Ｄ」
Ｂに対して、「Ａ／Ｃ／Ｄ」
・・・
とＡｖｓＢを2個数えてしまします。
「どのチームとも１回ずつ」にするためには、２で割る必要があるのです。

ですから、
４×３／２＝６試合
となります。

この方法が分かれば、何チームあっても計算できますね。

北のトラさん · Answer

試合数は、６試合ですね。計算式は、（各チームの試合数とチームの数の掛け算）÷２です。
質問の場合、Ａと言うチームを中心に考えると、ＡはＢ，Ｃ，Ｄの三チームと
試合をする必要があります。　そうすると、その条件はＡ以外のＢ，Ｃ，Ｄの４チームにも
当てはまりますので、　最初の計算では３×４＝１２試合　です。
但し、Ａ→Ｂと、Ｂ→Ａは、同一の組合せとなりますので、１２÷２＝６が、
全試合数です。

例えば、５チームの総当たり戦なら、　４×５÷２＝１０
　　　　６チームの総当たり戦なら、　５×６÷２＝１５　試合となります。

ですから、（総当たりするチームの数－１）×（総当たりするチームの数）÷２　
という式でも計算できます。

重複の試合数を計算しないために、２で割ることを忘れないことです。

参考までに。

場合の数、起こりうる場合（小学算数）の問題

こんな感じです。

まず１チーム目を選びます。

＞それぞれどのチームとも１回ずつあたるようにするとき

試合数は、６試合ですね。

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