∫[2.0](2x+1)^3dxはいくつになりますか？ 展開して積分すると時間がかかるので簡単なやり

∫[2.0](2x+1)^3dxはいくつになりますか？　
展開して積分すると時間がかかるので簡単なやり方ありませんか？

No.5 回答者： springside 回答日時： 2017/04/09 10:54

わざわざ置換するほどのことないし、展開するのはバカバカしいので、(2x+1)^3の不定積分の一つは(1/8)(2x+1)^4であることを使いましょう。

その後の定積分の計算でも楽です。

考え方：(ax+b)^nを微分すると、na(ax+b)^(n-1)であることを逆に使う。

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/04/06 15:42

まず、直接しても、時間はかかりません！

(2x+1)^3=8x^3+12x^2+6x+1
∮ (2x+1)^3=∮ (8x^1+12x^2+6x+1)dx=8・x^4 /4+12・x^3 /3+6・x^2 /2+x+C
=2x^4+4x^3+3x^2+x+C (Cは、積分定数)

別解1)部分積分より
∮ (2x+1)^3 dx=∮ (2x+1)(2x+1)^2 dx=∮ (2x+)^2｛(2x+1)^2/(2・2)｝' dx
=(2x+1)^4 /4ー∮ 2・(2x+1)・(2x+1)^2 /4 dx
=(2x+1)^4 /4ー∮ (2x+1)^3 dx
∴2・ ∮ (2x+1)^3 dx=(2x+1)^4 /4
∴ ∮ (2x+1)^3 dx=(2x+1)^4 /8 =16x^4+32x^3+24x^2+8x+C
=2x^4+4x^3+3x^2+x+C
別解2) 置換積分より
2x+1=t とおくと、2x=tー1 より dx=(1/2)dt
例えば、x: 0→2 の定積分なら、t : 1→2・2+1=5 まで変化するから、
∮ (2x+1)^3 dx 【x: 0→2】=(1/2) ∮ t^3 dt 【t: 1→5】=(t^4)/8【5…1】
=(625ー1)/8=78

別解3) 2x+1=2(x+1/2)より
∮ (2x+1)^3=2^3 ∮ (x+1/2)^3 dx=8｛(x+1/2)^4｝/4+C=2(x+1/2)^4+C
=(2x+1)^4 /8+C

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2017/04/03 00:20

定積分の積分範囲が不明。

＞展開して積分すると時間がかかるので

時間はかかるけどできるの？　それともできないの？

＞簡単なやり方ありませんか？

t=2x+1 とおいて、係数と積分範囲の変更が分かればできます。
分からないようなら、展開した方が速い。

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/04/02 15:24

ヒントだけ言うね！

まず、高校3年生なら、パットみて、置換積分で、2x+1=t とおけば直ぐにでてくる！
勿論、t の範囲が変わるがね！
次に、高校2年生なら、ちょっとしたコツいるね！
つまり、2x+1=2(x+1/2) より 積分の前に出す定数に気をつけてやれば、暗算も可能！
頑張ってね！

No.1 回答者： spacecruiseryamato 回答日時： 2017/04/02 13:11

展開して積分すると時間がかかるので簡単なやり方ありませんか」←他人に問題を解いて貰う状態から抜け出す事です・・

自分で解ける様になれば　暗算で　すぐに解かるだけ・・

なので　もっと勉強すればイイだけ・・