lim(r→0)sinnr / nr の解答を教えてください！

本を見ていると
lim(r→0)sinnr / nr
という問題がありましたので、解説できる方、よろしくお願いします＞＜；

「問題の書き方が間違っているかも？」と、不安に思っていたので。
画像も用意しましたorz

よろしくお願いします！

No.2 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/04/13 22:01

図を忘れたから、もう1回

下図で、面積に以下の関式が成立する：
三角形 OAB<扇型 OAB<三角形 OBC

書き換えると，(sinX)/2 < X/2 < (tanX)/2

両辺に2を掛けると
sinX < X < tanX

両辺をsinXで割ると
1 < X/sinX < 1/cosX

逆数をとると
cosX < sinX/X < 1

ここで，x→0 とすると，cosx=1 なのではさみうちの原理から
1 < sinX/X < 1
∴sinX/X=1

このXをnrとすると
r→０　= nr→０　= x→０ だからlim(r→0)sinnr / nr=1

この回答へのお礼

無知で申し訳ないのですが、(sinX)/2 < X/2 < (tanX)/2の
　(tanX)/2はどうして△OBCなのでしょうか＞＜
　（（sinX)/2,x/2はわかります……）

お礼日時：2017/04/15 01:11

No.7 回答者： angkor_h 回答日時： 2017/04/17 14:02

No.3です。

> 「Θがゼロに近いときは、sinΘ=Θ」
角度[rad]=弧の長さ÷半径
です。
Θがゼロに近いならば、
sinΘもtanΘも、「角度=弧の長さ÷半径」に同じ、という意味です。
No.2さんご回答との一致性は、ご自分で判断してください。

この回答へのお礼

ありがとうございます！自分で判断してみますorz

お礼日時：2017/04/18 22:25

No.6 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/04/15 12:40

>>(tanX)/2はどうして△OBCなのでしょうか

BC/OB=tanX ∴BC=OB･tanX
△OBC=OB･BC/2=OB²･tanX/2

OB=1としているから
△OBC=tanX/2

この回答へのお礼

お手数かけます！わかりやすく説明してくださりありがとうございます＞＜

お礼日時：2017/04/16 19:11

No.5 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/04/15 11:22

sin関数を展開するって手もあります(^^)

sinx = x － x^3/3! + x^5/5! － ・・・
を用いて、
sin(nr) = (nr) － (nr)^3/3! + (nr)^5/5! － ・・・
∴sin(nr)/(nr) = 1 － (nr)^2/3! + (nr)^4/5! － ・・・
r → 0 のとき、nr → 0 だから、
∴lim[r → 0] sin(nr)/(nr) = 1

参考になれば幸いです(^^v)

この回答へのお礼

なるほど。わかりやすくて助かります!orz
　ありがたく、参考にさせていただきます＞＜

お礼日時：2017/04/18 22:34

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/04/15 06:42

>>(tanX)/2はどうして△OBCなのでしょうか

BC/OB=tanX ∴BC=OB･tanX
△OBC=OB･BC/2=OB･tanX/2

OB=1としているから
△OBC=tanX/2

No.3 回答者： angkor_h 回答日時： 2017/04/13 23:19

sinΘにおいて、Θがゼロに近いときは、sinΘ=Θになります。

よって、答えは「1」です。
なお、Θ=0の時は0/0となって、答えはありません。

この回答へのお礼

回答、ありがとうございます！
「Θがゼロに近いときは、sinΘ=Θ」
というのは、No2での考え方と同じものだと思ってよろしいのでしょうか？＞＜。

お礼日時：2017/04/16 19:25

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/04/13 21:59

下図で、面積に以下の関式が成立する：

三角形 OAB<扇型 OAB<三角形 OBC

書き換えると，(sinX)/2 < X/2 < (tanX)/2

両辺に2を掛けると
sinX < X < tanX

両辺をsinXで割ると
1 < X/sinX < 1/cosX

逆数をとると
cosX < sinX/X < 1

ここで，x→0 とすると，cosx=1 なのではさみうちの原理から
1 < sinX/X < 1
∴sinX/X=1

このXをnrとすると
r→０　= nr→０　= x→０ だからlim(r→0)sinnr / nr=1