数学の問題なのですが、aを実数とする。三次方程式であるx^3−4x+a=0の解が全て実数となる時のa

数学の問題なのですが、aを実数とする。三次方程式であるx^3−4x+a=0の解が全て実数となる時のaの範囲を求めよ。
この問題を解く場合に、定数分離をおこなってグラフを把握し、その後のy=x^3−4xとy=−aで考えて、この2つのグラフが接するときも含めて3点で交わればいい。なぜ解が全て実数となる時に3点で交わればいいのでしょうか？
また極値を掛け合わせることで解こうとした場合に、かけて0以下となれば良いみたいなのですが、なぜそうなのか。また、かけて0より大きいのはなぜダメなのか。
解説をお願いします。

No.3 回答者： tekcycle 回答日時： 2017/04/30 00:16

まずは二次方程式や二次関数に於いて、解が実数であるとはどういうことなのか、そして、「解が虚数であるというのはどういうことなのか」どういう状況なのか、をしっかり学んでください。

ちゃんとグラフで視覚的に把握できるようにならないと、実戦で使い物になりません。
くれぐれも、言葉の丸暗記で済ませることの無いように。

三次関数のグラフは、基本的に、上向きの瘤と下向きの瘤とが二つできます。
瘤無し、という状態もありますが、それがどういうケースなのかは、しっかり把握しておいてください。
ヒントは、瘤が二つあるということは、微分したときに傾きが０になる点が二つある、ということで、それは微分した二次関数がウンタラカンタラ、ということで、じゃぁ瘤無しは、ということです。

瘤無しの場合は、実数解は、一つしかありませんよね。当たり前。
瘤二つの場合、実数解が一つ、二つ、三つ、というケースがありますが、それぞれどういう場合なのか、大まかなグラフがきちんと描けるようになってください。
一つの実数解をｔとすると、この三次関数は、ｘ＝ｔのときｙ＝０となるので、
(ｘ－ｔ)(ｘ2＋ｐｘ＋ｑ)＝０
と書けるはずです。
では、あまり正確な書き方ではありませんが、実数解が一つの場合、二つの場合、三つの場合、(ｘ2＋ｐｘ＋ｑ)はどんなことになっているでしょうか？
ちなみにもう一つ以上実数解が存在する場合、その一つをｓとするなら、ｘ＝ｔでもｙ＝０、ｘ＝ｓでもｙ＝０ですから、この三次関数は、
(ｘ－ｔ)(ｘ－ｓ)(ｘ＋u)＝０
なんて形になるはずです。「もう一つ解が存在するなら」ね。
このあたりは、つまり二次式の実数解がいくつなのか、虚数解がウンタラカンタラという話に持ち込めるのです。

三実数解の場合のグラフの形状がスラスラと把握できないと、極値を掛け合わせる話には持ち込めません。
瘤二つで一実数解の場合とどう違うのか、ということでもあります。
そもそも、実数解を持つとは、グラフの線がどうなっていれば良いのか、ということでもあります。
万人にスラスラ理解できることを書いたつもりはありませんから、解らないことがあったら質問してください。

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/04/29 22:12

例えば、2次関数の場合でも、x軸に交点がある場合は、実数解が存在しましたね！

そして、x軸に交点がない場合は、実数解は存在しませんが、複素数の範囲において
虚数解として存在しますね！それと同様に、3次の場合の極値は、1-2個ですね！
y=x^3ー4x=x(x+2)(xー2) なので、
x軸との交点は、ー2,0,2 の3点で交わりますね！ですから、
極値は、ー2 と0 の間で、正の範囲にありますし、もう一つは、
0 と ー2 の間で、負の範囲にあります。ですから、
極値を掛け合わせれば、負なので、0以下であって、正にはなりません！
よって、
y=ーa が重解も含めて交点が3つあればいいことになります。重解は2点としてカウントします！

No.1 回答者： asano_nagi 回答日時： 2017/04/29 21:37

三次方程式は、複素数の範囲で3つの解があります。

これがすべて実数だということは、グラフのx軸上に y=x^3-4xとy=-aが同じ値になる点があると言うことです。何個？

あと三次関数の極値は最大2個しかありません。
その値を掛けてマイナスになるとしたら、2個の符合の組み合わせは？
あとはグラフをじっくり眺めましょう。