伝達関数G(s)の周波数伝達関数はs=jωとおき、G(jω)となることを G(s)=a/(s+a)

伝達関数G(s)の周波数伝達関数はs=jωとおき、G(jω)となることを　G(s)=a/(s+a), a > 0の場合を例に説明せよ。

この問題がわからず困っています。G(s)に正弦波 sin(ωt) をかけて A(ω)sin(ωt+Φ(ω)) の形にするらしい?のですが、計算方法がわかりません。
最終的に、A(ω)=|G(jω)|, Φ(ω)=∠(G(jω), になればよいようです。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/05/21 09:00

ついでに一般解も書いておきます。

伝達関数は減衰する極のみを含むので(でないと発振してしまう)

G(s)ω/(s^2+ω^2) のラプラス逆変換 H(ω, t)は、減衰項を無視すると留数定理から

H={G(jω)/(2j)}e^(jωt) + {G(-jω)/(-2j)}e^(-jωt) = Re ( G(jω)e^(jωt)/(2j) )

ここから A, φ を導くのは容易です。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/05/20 19:36

おっと

{a/(s+a)}{ω/(s^2+ω^2)}　の間違いです。ついでに解いてしまうと

invLaplace(F(s)) = ΣRes(e^(st)F(s), s_i) を使うと

H(ω)=invLaplace( {a/(s+a)}{ω/(s^2+ω^2)} )
=invLaplace( {aω/{(s+a)(s+jω)(s-jω)} ) =
=aω[ e^(jωt)/{(jω+a)(2jω) + e^(-jωt)/{(-jω+a)(-2jω)}+ e^(-at)/{(-a+jω)(-a-jω)} ]

3項目は減衰項なので無視

1/{(jω+a)(2jω)} = (-jω+a)(1/2)(-j)/{(ω^2+a^2)ω^2} = (1/2)(-ω-ja)/{(ω^2+a^2)ω}

1/{(-jω+a)(-2jω)} = (jω+a)(1/2)(j)/{(ω^2+a^2)ω^2} =(1/2)(-ω+ja)/{(ω^2+a^2)ω^2}

なので

H(ω) = a[-{ω/(ω^2+a^2)}cos(ωt) + {a/(ω^2+a^2)}sin(ωt) ]

こっから A, φ を求め、 複素数G(jω)　と比較すればよいのです。

A は a√([-{ω/(ω^2+a^2)}]^2 + {a/(ω^2+a^2)}^2) =a/√(ω^2+a^2)

|G(jω)|　＝a/(jω + a)=a/√(ω^2+a^2)

φ = atan({-ω/(ω^2+a^2)}/{a/(ω^2+a^2)} = atan(-ω/a}

∠G(jω) = ∠((-jω+a)a/(ω^2+a^2)) = ∠(-jω+a) = atan(-ω/a}

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/05/18 15:16

大前提としての「伝達関数」や「周波数伝達関数」というものは理解できていますか?

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/05/18 13:32

{a/(s+a)}{ω^2/(s^2+ω^2)} を逆ラプラス変換しなさいってことです。

留数定理と逆ラプラス変換の関係を知っていれば楽。