A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
1) x=2なら点Cに到達するので、
△ABCの面積=8・6/2=48/2 …(1)
点CからABに降ろした高さhとおくと、(1)=10 h/2
よって、h=48/10=4.8
また、条件より、AP=DQで、PQ=AD=6 と0≦x≦4なら変わらないので、
面積y=6・4.8/2=14.4 …Ans1
2) 0≦x≦2のとき …(0)
RからABに降ろした高さh1とおくと
△ABRの面積y=AB・h1/2=BR・AC/2
∴ h1・10/2=(6+x)・6/2 …(1)
∴ h1=(6+x)0.6
面積y=(1/2)6(6+x)0.6=1.8(6+x)=(6+x)9/5
または、PQ=AD:AB=6:10より (1)から
y=(6+x)6/2・(6/10)=1.8(6+x) …Ans2
これが、y≦12より
1.8(6+x)≦12 ∴6+x≦12/1.8=20/3=6+2/3 ∴ x≦2/3
(0)のときだから、0≦x≦2/3
次に、2≦x≦4のときは、 …(2)
RからABに降ろした高さをh2とおくと
RC=xー2より
△ABRの面積=h2・AB/2=AR・BC/2
∴ h2・10/2={6ー(xー2)}8/2 …(3)
∴ h2=(8ーx)4/5 よって
面積y=(1/2)6・(8ーx)4/5 =2.4(8ーx)
または、または、PQ=AD:AB=6:10より (3)から
面積y={6ー(xー2)}8/2 ・(6/10)=2.4(8ーx)
2.4(8ーx)≦12 より
8ーx≦12/2.4=5 ∴ x ≦3
従って、(2)より 2≦x≦3
あわせて、0≦x≦2/3 または 2≦x≦3
No.4
- 回答日時:
三角形を細分化する方法で解いてみることにします。
三角形の面積=底辺×高さ÷2 であることを踏まえて、
0≦x≦2 の場合、三角形を分割して考えると
△PQR =△ABC-△PCA-△PRC-△QBR
となるから、
PからACへの垂線の長さ:x/10 ×8 =4x/5
PからBCへの垂線の長さ:(10-x)/10 ×6 =(30-3x)/5
QからBCへの垂線の長さ:(4-x)/10 ×6 =(12-3x)/5
△ABCの面積:8×6÷2 =24
△PCAの面積:6×4x/5 ÷2 =12x/5
△PRCの面積:(2-x)×(30-3x)/5 ÷2 =(3x^2 -36x +60)/10
△QBRの面積:(6+x)×(12-3x)/5 ÷2 =(-3x^2 -6x +72)/10
△PQRの面積yは
y=24 -12x/5 -(3x^2 -36x +60)/10 -(-3x^2 -6x +72)/10
=24 -(1/10)(24x +3x^2 -36x +60 -3x^2 -6x +72)
=24 -(1/10)(-18x +132)
=(240 +18x -132)(1/10)
=(18x +108)(1/10)
=(9x +54)/5
2≦x≦4 の場合、三角形を分割して考えると
△PQR =△ABC-△PRA-△QBC-△QCR
となるから、
PからACへの垂線の長さ:x/10 ×8 =4x/5
QからBCへの垂線の長さ:(4-x)/10 ×6 =(12-3x)/5
QからACへの垂線の長さ:(6+x)/10 ×8 =(24+4x)/5
△PRAの面積:(6+2-x)×4x/5 ÷2 =(16x -2x^2)/5
△QBCの面積:8×(12-3x)/5 ÷2 =(48 -12x)/5
△QCRの面積:(x-2)×(24+4x)/5 ÷2 =(2x^2 +8x -24)/5
△PQRの面積yは
y=24 -(16x -2x^2)/5 -(48 -12x)/5 -(2x^2 +8x -24)/5
=24 -(1/5)(16x -2x^2 +48 -12x +2x^2 +8x -24)
=24 -(1/5)(16x +24)
=(120 -12x -24)(1/5)
=(96 -12x)/5
特に x=2 のときは、
y=(9×2 +54)/5 =(96 -12×2)/5 =72/5
y≦12の範囲は
0≦x≦2 のとき y=(9x +54)/5≦12 より x≦6/9=2/3 なので、
0≦x≦2/3
2≦x≦4 のとき y=(96 -12x)/5≦12 より x≧36/12=3 なので、
3≦x≦4
このやり方だと計算が煩雑で間違えやすいかもしれませんね。
No.3
- 回答日時:
No.1です、回答に誤りがあったので修正
点Rが辺AC上にあるとき、△RAHが RA:AH:HR=5:4:3 (誤り)
点Rが辺AC上にあるとき、△RAHが RA:AH:HR=5:3:4 (あってるはず)
No.2
- 回答日時:
(1) はできたのですね? 「三角形の面積」の考え方はすべて共通です。
あとは、三角形の形が変わる「変わり目」を考えて、条件分けすればよいのです。
与えられた条件では、PQ はすべて同じなので、「AB とR との距離」(PQ を底辺としたときの三角形の高さ)を x で表わせればよいのです。それには(1) と同様「三角形の相似」を使います。
(1) x=2 ならRはCにある。y は「底辺がPQ」(これは固定値)、高さが「AB とCの距離」の三角形の面積。
CからABにおろした垂線の足をFとすれば
△ABC ∽ △ACF
なので
CF = 4.8
PQ = AD = 6 なので
y = (1/2) × 6 × 4.8 = 14.4
(2) 0≦x≦2 ならRは EC 上にある。y は「底辺がPQ」(これは固定値)、高さが「AB とRの距離」の三角形の面積。
このとき、RからABに平行に引いた直線とCAとの交点をGとすれば
△ABC ∽ △GRC
なので、RGとCFの交点をHとすると
CH:CF = CR:CB = (2 - x):8
これから
CH = [ (2 - x)/8 ] * CF
よって「AB とRの距離」は
CF - CH = CF - [ (2 - x)/8 ] * CF = [ (6 + x)/8 ]*CF = (18 + 3x)/5
PQ = AD = 6 なので
y = (1/2) × 6 × (18 + 3x)/5 = (54 + 9x)/5 ①
(3) 0≦x≦4 の範囲だと、0≦x≦2 なら(2)なので、2<x≦4 の範囲でRがCA上にあるときに y がどうなるかを考える。
この範囲なら、QはAB上にあるので、「底辺がPQ」(これは固定値)であることは変わらない。
残るは「AB とRの距離」がどうなるかを調べればよい。
このとき、RからABに平行に引いた直線とBCとの交点をKとすれば
△ABC ∽ △RKC
なので、RKとCFの交点をMとすると
CM:CF = CR:CA = (x - 2):6
これから
CM = [ (x - 2)/6 ] * CF
よって「AB とRの距離」は
CF - CM = CF - [ (x - 2)/6 ] * CF = [ (8 - x)/6 ]*CF = (32 - 4x)/5
PQ = AD = 6 なので
y = (1/2) × 6 × (32 - 4x)/5 = (96 - 12x)/5 ②
従って、解くべき問題は、①②より
0≦x≦2 のとき (54 + 9x)/5 ≦ 12 ③
2<x≦4 のとき (96 - 12x)/5 ≦ 12 ④
となる x の範囲を求めること。
③を解けば
54 + 9x ≦ 60
→ 9x ≦ 6
→ x ≦ 2/3
従って 0 ≦ x ≦ 2/3
④を解けば
96 - 12x ≦ 60
→ 36 ≦ 12x
→ 3 ≦ x
従って 3 ≦ x ≦ 4
以上より
0 ≦ x ≦ 2/3 または 3 ≦ x ≦ 4
No.1
- 回答日時:
(1)をどのように考えて解いたかを示していただけたら、より適切な教え方があるように思いますが
△ABCは角Cが直角で、辺の長さの比が AB:BC:CA=5:4:3
点Rから辺ABに下ろした垂直線の足をHとすると、
点Rが辺BC上にあるとき、△RBHが RB:BH:HR=5:4:3
点Rが辺AC上にあるとき、△RAHが RA:AH:HR=5:4:3
(相似な直角三角形)
を使えば、簡単に求められると思います
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