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質量40g、速度300m/sの銃弾が厚さ10cmの木板を貫いて速度200m/sになった。
①木板の平均抵抗力は?
②銃弾が通り抜けないための同じ材質の板の厚さは?

協力お願いします!

A 回答 (2件)

まったく条件が与えられていないのですか? だとするとちょっと厄介かな。



(1)
#1さんは、「単位厚さあたりで失う運動エネルギーが一定」としましたが、これは成立するのかなあ?
これは、「働く力は速度によらず一定」つまり「等加速度」としているということです。停止寸前まで遅くなっても、高速で飛び込んだ時と同じ力が働く・・・ちょっとあり得ないような気がします。

これでやってみると、
 F = ma = const = -k  (a)
a = dv/dt = -k/m
より
 v(t) = v0 - (k/m)t
木板の入射位置を x=0 として
 x(t) = v0*t - (k/2m)t^2

v0=300(m/s), m=0.04(kg) を入れて
 v(t) = 300 - 25k*t   (b)
 x(t) = 300*t - (25k/2)t^2   (c)
ここで
 x(t1) = 0.1(m)
となる時刻 t1 は
 300*t1 - (25k/2)t1^2 = 0.1
より
 t1 = [ 300 ± √(90000 - 5k) ]/25k
このうち小さい方の
 t1 = [ 300 - √(90000 - 5k) ]/25k
が初めて x(t1) = 100 となる求める解です。
このときに
 v(t1) = 200(m/s)
になるので、(b)より
 300 - 25k* [ 300 - √(90000 - 5k) ]/25k = 300 - 300 + √(90000 - 5k) = 200
より
 √(90000 - 5k) = 200
→ 90000 - 5k = 40000
→ k = 10000
となって

 F = -10000(N)  (d)
 v(t) = 300 - 250000*t (m/s)   (e)
 x(t) = 300*t - 125000*t^2 (m)   (f)
 t1 = 100/250000 = 0.0004 (s)   (g)
になります。
 
①これだと、平均値も何もなくて、抵抗力はずっと (d) のとおり 10000(N) です。

(注)#1さんは、
>木板の抵抗力がした仕事は0.1fなので、0.1f=800より、f=8000N
としていますが、これは
「木板の抵抗力がした仕事は0.1fなので、0.1f=1000より、f=10000N」
の間違いかと思います。


②上の式を使えば、木板中で止まる、つまり(e)がゼロになる時刻 t2 は
 300 - 250000*t2 = 0
より
 t2 = 300/250000 = 0.0012(s)
これを (f) に代入して
 x(t2) = 300*0.0012 - 125000*0.0012^2 = 0.36 - 0.18 = 0.18(m)
ということになります。

(これは #1 さんの答と同じです)


(2)「働く力は速度によらず一定」つまり「等加速度」というのが納得できないので、正攻法で「抵抗力は速度に比例する」と考えてみます。一般に、運動に対する抵抗力は速度に比例しますから。
それでやってみると、

木板中の速度を v とすると、働く抵抗力は
 Fm = -k*v   (イ)
( k は正の定数)
運動方程式より
 Fm = ma = m*dv/dt = -k*v
これを解くと
 v(t) = C1 * e^[-(k/m)t ]
t=0 (木板入射のとき)v(0) = 300 (m/s) = v0 書けば C1 = v0
よって
 v(t) = v0 * e^[-(k/m)t ]   (ロ)

これをさらに時間積分して
 x(t) = -v0 * (m/k) e^[-(k/m)t ] + C2
t=0 (木板入口のとき)x(0) = 0 とすると
 C2 = v0 * (m/k)
よって
 x(t) = v0 * (m/k)*(1 - e^[-(k/m)t ])   (ハ)

①以上に、v0=300(m/s), m=0.04(kg),
x(t) = 0.1 (m) のとき v(t) = 200 (m/s)
の条件を入れてみます。
(ハ) で
 x(t1)=100
となる時刻 t1 は
 t1 = (1/25k)ln[ 120/(120 - k) ]
のときで、これを(ロ)に代入して
 v(t1) = 200
より
 k = 40
と求まります。

つまり
 v(t) = 300 * e^(-1000t) (m/s)   (ニ)
 x(t) = 0.3 * [ 1 - e^(-1000t) ]) (m)  (ホ)
 t1 = (1/1000) * ln(3/2)    (ヘ)
となります。

(イ)の「平均値」を求めるには、(イ)を t=0 ~ t1 で積分して、時間 t1 で割ればよいかな?
 Fave = (1/t1) ∫[0 → t1][- 40v(t) ]dt ≒ 9865 (N)

② ところが、上で求めた式だと、(ニ)は t→∞ にならないと v(t)=0 にはなりません。
 この条件だと、答が求まらない・・・。


 やっぱり、(1) の条件で考えないと答は出ないのかなあ。
 生き詰まったので、残念ながらこれで撤退します。
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まず、貫く前の運動エネルギーを求めます。

40g=0.04kgより、運動エネルギーの公式から1800Jとなることがわかります。

さて、貫いた後の運動エネルギーは800Jとなるので、貫いている間に1000Jのエネルギーを抵抗力により失ったことがわかります。

よって木板の平均抵抗力をfとすると、10cm=0.1mより、木板の抵抗力がした仕事は0.1fなので、0.1f=800より、f=8000Nとなります。

これが(1)の答えです。(自信はありません)

次に(2)です。

通り抜けないためには、銃弾の持つエネルギー1800Jを通り抜ける間に失えばよいので、10cmで1000J失うのですから、18cm以上あれば通り抜けないと思います。これが(2)の答えです。
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