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なぜ物理量の方程式は両辺の単位が揃っていないといけないのでしょうか?
例えばv=mとかだと
左辺が移動距離のみに比例し、時間のみに反比例する量であるのに対し、右辺が質量のみに比例する量であるから、そのような量はないからこの式は矛盾するという感じですか?

A 回答 (8件)

補足したいです。


単位が揃う以前に、次元が揃っている必要があります。

「単位」は、「次元」という物差しを基準づけるための、
「目盛り」のようなものと考えてください。
同じ次元でも、単位が異なると目盛りの大きさが変わるので、
スケールが単位間で変わります。

OKな場合:
・質量の次元[M]:1000000[mg] = 1000[g] = 1[kg] = 0.001[t] = ・・・
 (例えばmgの目盛りとgの目盛りとでは、目盛り間隔のスケールが1000倍違うという意味です)
・長さの次元[L]:2.54[cm] = 25.4[mm] = 1[feet] = ・・・
・時間の次元[T]:3600[sec] = 60[min] = 1[hour] = ・・・
・個数の次元:12[個] = 1[ダース] =・・・

「異なる単位のものは等号で結べない」とか「どんな式でも単位は同じ」
などとおっしゃっている回答者が見られますが、
次元とスケールが揃っていれば、等号で結んで大丈夫です。

次元が揃っていてもスケールが間違っているのはNGで、
1[g] = 1[kg] とか 10[km] = 10[cm] とか 100[sec] = 100[min] とか、・・・
というように結ぶのは無理です。

同様に、同じ速さの次元[L/T]でも、
1[m/sec] = 1[mile/hour] = 1[knot] = ・・・
などは同次元ですがスケールが整っていないので等号で結べません。

ご提示の「v = m」の場合、
このままでは両辺の次元が異なるので等号で結べませんが、
両辺をつなぐ定数(速さ[L/T]と質量[M]の比の次元)を仮定すれば、
結んで大丈夫です。
計算中に次元がおかしくならないようにするために、
記号を設定すべきです。
v = k m などとおけば、定数kは、[L/(TM)]の次元を持つことになります。


永くなって申し訳ないですが、さらに補足したいです。
応用的な単位として、[g/kg]、[μg/kg]のような単位が使われます。
前者は例えば、分母の次元が薬品混合物の全体質量、
分子の次元が有効成分の質量(粉薬の濃度表示などで使います)
となり、分子と分母で約分されて無次元になる、というわけではないです。
おなじ質量の次元ですが、分子と分母とで異なる対象に注目しているので、
次元も異なり、約分することができない量です。
一方後者は、分子の次元が薬物投与量、分母の次元が投与される人体の質量を表します。
薬品の取説に「0.5μg/kg」とあれば、患者さんの体重1kgあたり、
0.5μgの薬品を投与することになります。
(例えば、50kgの患者さんへの投与量は、0.5μg/kg × 50kg = 25μg)
この例も、分子と分母とで注目対象が異なるので、字面的には同次元ですが、
厳密には次元が違うので、グラムが約分されません。

読了感謝です。。。
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数式で使う=(イコール)は同じ単位で比べて等しい、というものです。

なので、異なる単位のものは=で結べません。

体重(kg)=身長(m) にはならないでしょ。それと同じです。
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凄く簡単、その様な現象は見つかっていないから。

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どんな式でも単位は左右同じですよ。

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逆に、「物理量の方程式」とは、「物理量の間相互に成立する関係」を示したものだから、その物理量の意味する「単位」が必然的にそろうのでしょう。



単位の違うもの、つまり「異なる物理量」間にある一定の関係があるということは、それを媒介する「法則」があるということです。その「法則」を表わすために、「比例定数」である「○○定数」というものを実験的に決定します。

たとえば、ばねの「のび(または縮み、つまり「変位」):x [m] 」と「ばねの復元力:F [N] 」との関係は
 F = -k*x
という「ばね定数:k [N/m] 」で関係づけられます。この「ばね定数」とは何かと言われれば、「ばねの材質の弾性係数」だのばねの「線径」「コイル径」「巻き数」などで決まりますが、いちいちそこまでさかのぼらずに「力と長さとを媒介する定数」として扱うのが普通でしょう。ある意味で「実験的に決める」ということです。

また、万有引力の法則では
 F = G*M*m/r^2
として、質量 M, m [kg] と距離 r [km] と、力 F [N] との間を「万有引力定数:G [ m^3/(kg・s^2) ] 」を媒介させて関係づけています。この「万有引力定数:G [ m^3/(kg・s^2) ] 」も「実験的に決め」ています。

有名なアインシュタインの
 E = m*c^2
という式はその意味で不思議ですね。質量も光速度も固有の物理量なのに、「光速度の2乗」を変換定数として質量をエネルギーと関係づけられるところが「驚異的」だと思います。

お示しの「v=m」は、単に「ある特定の条件下で、特定の数値間に成立する等式」としてはあり得ますが、いかなる条件でも成り立つ何らかの「法則」を表わすのではありません。
経験的・実験的に「質量と速度との間には一定の関係がある」が事実であれば、そこに何らかの「法則」があると考えられるので、その関係を「実験式」に表わし(一次式か、二次式か、対数関数か、あるいは時間変化か)、その間の共通で存在する「変換定数」を定めればよいです。
 これに関して言えば、「速度 v の時間変化(つまり加速度)は、「力」というものを介して質量 m と関係づけられる」というのが経験的・実験的な事象です。これが「運動方程式」
  F = m*a = m*Δv/Δt
です。

物理の歴史は、万有引力にしても、電荷間に働くクーロン力にしても、電流と磁界との関係にしても、みんなそうやって「法則」を発見してきたのです。

>左辺が移動距離のみに比例し、時間のみに反比例する量であるのに対し、右辺が質量のみに比例する量であるから、そのような量はないからこの式は矛盾するという感じですか?

そう決めつけることはできません。この世で、それが実際に起こっているのか、経験的・実験的にそれが成立しているのかがすべてです。ばねの関係式にしても、万有引力にしても、「左辺と右辺の物理量や単位が合わないから矛盾している」ということだけで否定したら、「法則」は見つけられません。
「物理」は、「この世で実際に起こっていることを、その背後にある共通の「法則」とか「関係」を見つけて整理してきたもの」ですから。
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この回答へのお礼

本当に丁寧な回答ありがとうございます。
つまり物理は定数を介して、法則を見つける段階と法則から見つけ出す一種の定理のようなものを見つける段階があるわけですね。
また法則を見つける際には比例定数がでてくるため、どの段階においても単位が揃わないことはない。
というわけですね。

他にも質問を、投稿していますので是非見ていただければ嬉しいです。m(_ _)m

お礼日時:2017/07/25 21:05

単位が揃うことが、その式が正しいことの証明に使えるから?

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3個のリンゴ≠3個のミカン


みたいなことかな。
ぶっちゃけ、比べようがない。
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というか、


速さが3kgとかって言うことは出来ないので
単位はそろえないとダメなのだと思います。
3kgって重さだから
速さはやっぱり、
[m/s]などでないとわかりませんよね。
でも、v[m/s],m[kg]
としていても、たまたまvとmが同じ数値のときは
v[kg]=m[kg]
などとと書けば、大丈夫だと思います。
ただ単に量として見れば等式にもすることは出来ると思います。
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