力学の問題です。(空気抵抗ありの放物運動)

速度に比例した空気抵抗(単位質量あたりの比例係数k)が働く質点の放物運動を考える。質点の初速度の大きさをv0とし、方向は水平角と角θ0をなすものとする。
1、質点の運動方程式を示せ
2、質点の最高点の高さを求めよ
3、t→∞のときの質点の終端速度を求めよ

vを使った運動方程式をたてたのですが、座標に直せなくて2が解けません。どうすれば良いのでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2017/08/04 11:17

＞vを使った運動方程式をたてたのですが

そういうときには、ちゃんとそこまで書いて、どこで分からななったのかも書いて質問してください。
「物理」の範囲で分からないのか、「数学」が分からないのか、いろいろありますから。

運動方程式は、ベクトルを使えば
　ｍ*d(→V)/dt = m*(→g) - m*k*(→V)

これを x, y 成分に分ければ、速度の水平面からの角度を θ として、上向き、初速度方向を正として
　m*dVx/dt = - m*k*|V|*cosθ = - m*k*Vx　　　　　①
　m*dVy/dt = - m*g - m*k*|V|*sinθ = - m*g - m*k*Vy　　　②

ここまではできたのですね？　（これが「１」）

「２」は、②の微分方程式を解きます。おそらく、この微分方程式が解けなかったのでは？
　dVy/dt = -g - k*Vy　　　③

分かりやすくするために
　Vy + g/k = U
とおけば、
　dVy/dt = dU/dt
なので、③式は
　dU/dt = - k*U
これなら解けますよね？

つまり
　∫(1/U)dU = -k∫dt
より
　ln(U) = -k*t + C1
（C1 は積分定数）
→　U = C*e^(-k*t)
（ただし、C = e^C1 ）

元に戻して
　Vy + g/k = C*e^(-k*t)
→　Vy(t) = C*e^(-k*t) - g/k
t=0 の初速度が V0 なので、ｙ成分は V0y=V0 * sin(θ0) であるから
　　Vy(0) = C - g/k = V0 * sin(θ0)
より
　　C = V0 * sin(θ0) + g/k
よって
　　Vy(t) = [ V0 * sin(θ0) + g/k ]*e^(-k*t) - g/k　　　　④

従って、高さ方向の変位は
　　y(t) = ∫Vy(t)dt = -(1/k)[ V0 * sin(θ0) + g/k ]*e^(-k*t) - (g/k)*t + C2
（C2 は積分定数）
t=0 のときの初期位置を y=0 とすると
　C2 = (1/k)[ V0 * sin(θ0) + g/k ]
よって
　　y(t) = (1/k)[ V0 * sin(θ0) + g/k ]*[ 1 - e^(-k*t) ] - (g/k)*t 　　　⑤

④より、最高点では Vy(t) = 0 になるので、そのときの t=T を
　　Vy(T) = [ V0 * sin(θ0) + g/k ]*e^(-k*T) - g/k = 0
から求め、⑤に代入すればよいです。
面倒なので、自分でやってみてください。

「３」ｙ方向の終端速度は、④で t→∞ として
　　Vy → -g/k
です。

終端速度には速度の x 成分も必要ですね。
①より
　　Vx = - k*Vx
ですから、これは簡単に解けますね。
　　Vx(t) = C4 * e^(-k*t)
t=0 のとき Vx(0) = V0 * cos(θ0)　なので C4 = V0 * cos(θ0)　で
　　Vx(t) = V0 * cos(θ0) * e^(-k*t)
でも、t→∞ の終端速度では Vx → 0 です。

ということで、終端速度は
　　V(∞) = (0, -g/k)

この回答へのお礼

貴重なお時間を割いていただき、とても詳しい解説ありがとうございます。
お陰様で最後まで理解することができました(^^)
本当にありがとうございました！！

お礼日時：2017/08/04 15:03