高校数学 微分法

すべての実数xに対して不等式
(e^x+e^-x)/2>=1+ax^2 が成り立つような定数aの最大値は？ 答え1/2

という問題で、定数分離させて途中まで解いていたのですが上手くいきませんでした。教えて下さい。

質問者からの補足コメント

• 定数分離するとg(x)=(e^x/2-e-x/2)/xとして
  (g(x))^2>=2aとなったのですが、その後の処理がわかりません。

    補足日時：2017/08/18 12:45

• 定数分離以外の回答でも構いません。教えて下さい。

    補足日時：2017/08/18 12:46

• (g(x))^2>=2aのところから、
  limx→0g(x)=lim x→0 (e^x/2-e^-x/2)/x
  =lim x→0 (e^x/2-1+1-e^-x/2)/x
  ここでlim x→0 (e^x/2-1)/x= lim x→0 (e^x/2-1)/(2×x/2)=1/2
  lim x→0 -(e^-x/2-1)/x=1/2 より、
  lim x→0 (e^x/2-1+1-e^-x/2)/x=1/2+1/2=1
  となり 1>=2aより 最大値は1/2
  
  指数関数、対数関数の極限の公式(？)を使って定数分離の途中からといてみました！正しいのか分かりませんが、答えは出ました！

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/08/20 11:30

No.2 ベストアンサー 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/08/19 23:32

定数分離というのは, 誰かのアドバイスですか.

普通に微分して, 簡単に解けますよ.

f(x) = {e^x + e^(-x)}/2 - 1 - ax^2 とおくと, f(0) = f'(0) = 0 であり,
f''(0) = 1 - 2a ≧ 0 であることが, f(x) ≧ 0 for ∀x ∈ R, であるための必要十分条件です.
増減表を書くと, 分かりやすいでしょう.
f(x) が偶函数であることも, この問題を考えやすくしてくれています.

なにか質問はありますか.

この回答へのお礼

f(x)が偶関数なこともあり、増減表が0以上だけですみました。場合分けもa>1/2とa<=1/2の２つで意外と簡単に解けました。ありがとうございます。
この場合は偶関数であってこのやり方ですぐ解けるのですが、定数があって、定数分離するとわりと左辺が綺麗な形なので定数分離した方が簡単に解けると思ってこだわってしまいました。定数分離で考えてあのまますぐに答えは出ないのでしょうか？宜しければ教えて下さい。

お礼日時：2017/08/20 10:57

No.1 回答者： kgymkt 回答日時： 2017/08/19 03:05

いやー難しかった

めちゃくちゃ時間かかりましたが楽しかったです
さてやっていきましょう

g(x)={e^(x/2)-e^(-x/2)}/xとして
(g(x))^2≧2a
とするのは非常に良い変形です
助かりました
このとき、x≠0が前提です
ちなみに、x=0のときaはすべての実数で与えられた不等式が成り立ちます

よって
g(x)≧√（2a）　(g(x)≧0)
または
g(x)≦-√(2a)　(g(x)≦0)
と複雑さが一つ落ちます

ここで
g'(x)=[{1/2 e^(x/2) + 1/2 e^(-x/2)}x - e^(x/2)-e^(-x/2)} ]/x²　　//微分公式適用
={(e^x+1)x - 2(e^x-1)}/2x²e^(x/2)　　　　　　//2e^(x/2)を分子分母にかけて整理
={(e^x +1)(x-2)-4}/2x²e^(x/2)　
となります
最後の行はなるべく因数分解された形にしたい、と思っての変形です
ここで唐突に思われますがx=0を代入すると
分子分母ともに0となります…
なんてこった
まあ、あとでx=0のときの挙動が気になる場面がありますので、またあとで
ここで、簡略化のためにG(x)=(e^x +1)(x-2)という関数をおきます
これはg'(x)の分母部分に4を足した関数です
これにを介してg’(x)の正負とg(x)の形を調べます

G'(x)=e^x(x-2)+(e^x +1)
=e^x{x-1+e^(-x)}
G'(x)=0のとき
e^x{x-1+e^(-x)}＝0
よってx-1=-e^(-x)
ここでグラフを書くと、y=x-1とy=-e^(-x)はx=0で接しています
証明はy=e^(-x)のx=0での接線の方程式でも導けば十分でしょう
よってx-1+e^(-x)≧0よりG'(x)≧0なのでG(x)は単調増加する
ここで、G(0)はなんだろう、と値を代入してみるとなんと-4とでてくるわけです
しかし、g(x)は0を定義域から外した関数です
なので極値はないということです
このとき、上の議論はもちろんいります
分子部分はx=0のときのみ0になり、それが定義域の関係で外れるため極値なしと断定できます


さて情報を整理すると、
いまG'(x)の符号を調べたことでG(x)の形が分かりました
G(x)は単調増加する関数で、G(2)=0、G(0)+4=0です
では、大詰めです
g'(x),g(x)に迫っていきます

g'(x)＝｛G(x)+4}/2x²e^(x/2)です
分母は常に正ですね
G(x)は単調増加して、G(0)+4=0より
x<0でG(x)+4<0　よってg'(x)<0
x>0でG(x)+4>0　よってg'(x)>0
それでは、増減表を作ってみてください
二次関数のような型ですね
ただし、g(x)のx=0の近傍はどうなっているのか、です
これまた難しい
x→0のとき
g(x)＝{e^(x/2)-e^(-x/2)}/x
＝{e^(x/2) - e^(0/2)}/(x-0) - {e^(-x/2)-e^(-0/2)}/(x-0) (∴ e^(0/2)=e^(-0/2) ) //微分係数の定義にもっていく
→F'(0)-H'(0)
ただしF(x)=e^(x/2)、H(x)=e^(-x/2)
よって
g(x)=1/2-(-1/2)=1　(x→0)
これは近づき方の正負によりません
つまり、x=0の値が定義されてはいませんが、あたかもx=0で連続しているような感じになっているんですね
さて、では増減表からグラフを見てみると
g(x)=1　(x→0)
より、g(x)＞0ですね
なので一番最初の不等式のうちで
g(x)≧√（2a）
のみを考えればよいということになります
さて最後
x≠0である任意の実数ｘについて、g(x)>1より
√(2a）=1のときg(x)≧√(2a）
すなわち与えられた不等式が成り立つ
よってa=1/2
x＝0のときすべての実数aで与えられてた不等式が成り立つ
ゆえにa=1/2

お疲れさまでした
何かわからないところがあれば言ってください
ここまでやっといてなんですが正直もっといい方法がある気がしますが…
定数分離の頭になってしまったらもうそれ以外考えられなくなりましたし僕の頭じゃ限界ですね

この回答へのお礼

丁寧に解説してくださってありがとうございます。定数分離を使わない方法では場合分け２つで解けましたが、一番はじめに定数分離を考えついたのでその方法でなんとか楽にできないか、むしろその方が簡単に解けるのではないかと思っていました。参考にさせていただきます。本当にありがとうございました。

お礼日時：2017/08/20 10:46