直交の定義について https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B

直交の定義について
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4
に
『加群 M およびその双対加群 M∗ が与えられたとき、m' ∈ M∗ および m∈ M が直交するとは、それらの双対性内積が零、すなわち ⟨m', m⟩ := m'(m) = 0 となるときに言う。』

とありますが、m=0のとき、mは全てのm'と直交するということですか？

定義だけ見るとそう思えるのですが、3次元空間の例なら、(0,0,0)がすべてに直交しているということですか？

なにか、勘違いしてるかもしれませんが、ご回答よろしくお願いします。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2017/09/04 22:50

ANo.2へのコメントについてです。

> 定義式を単純にする以外になにか、具体的なメリット

定義ってのはそもそもが、「ある性質を短く言う」ためのshort handに過ぎない。ものの言い方を変えて命題の表現を変えたところで、その意味内容まで変わるわけじゃないんですから、「メリット」って言われてもな。javascript:void 0;

この回答へのお礼

ありがとうございます
0を特別扱いしないほうがいい場合が、具体的な事例でありますか？ということだったのですが、なさそうというご回答と解釈しました。

お礼日時：2017/09/05 11:10

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2017/09/02 20:48

具体的にm'を与えて「m'に直交するmの集合」を考える場合、この定義は便利じゃないですかね。

m=0を特別扱いすると、3次元空間の例なら「(1,0,0)に直交するmの集合」に穴があいちゃうでしょ。

この回答へのお礼

ありがとうございます
でも、この定義ではむしろ、お互いに直交する方向が3次元の場合4つになるイメージがぬぐえなかったんです。で、郡に0を含めていいのかな？と、質問させていただいだんですが、
定義式を単純にする以外になにか、具体的なメリットがあるんでしょうか？

お礼日時：2017/09/02 23:25

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2017/08/27 03:45

＞m=0のとき、mは全てのm'と直交するということですか？

その定義なら、そうですね。
直交のなかに、m=0 という自明な場合が含まれているんで、直交性を使うときに注意が必要なことは確かです。

そうではなくて、最初から
直交とは、⟨m', m⟩ := m'(m) = 0 （ただし、m≠0、m'≠0) となるとき
という定義もありえるでしょうが、
そうすると、いちいち、直交性に言及するとは、いちいち、m=0のときを場合分けしないといけなくて面倒ですね。

結局、m=0という特別扱いしないといけない場合分けを、最初に考えておくのか、後から必要なときだけ考えることにするのか、という流儀の違いですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
一般形式的には0も含めておき、物理的に必要なときに0の扱いを考えるものとして良さそうだと理解しました。

お礼日時：2017/08/27 03:54