∫√a^2-x^2 dx を部分積分法を利用して解きたのですが、tがうまく消えません。正しい計算を教

∫√a^2-x^2 dx を部分積分法を利用して解きたのですが、tがうまく消えません。正しい計算を教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： deutschgoo 回答日時： 2017/10/16 21:06

√が全体にかかっていると解釈して解きます。

なお、誤解を無くすためにここでは
(a^2-x^2)^(1/2)と表記します。
∫(a^2-x^2)^(1/2)dx=Zとします。
Z=∫(a^2-x^2)^(1/2)
=x(a^2-x^2)^(1/2)
-∫x(1/2)(-2x)(a^2-x^2)^(-1/2)
=x(a^2-x^2)^(1/2)
+∫x＾2/(a^2-x^2)^(1/2)dx
ここで
∫x＾2/(a^2-x^2)^(1/2)dx
=∫a^2/(a^2-x^2)^(1/2)
-∫(a^2-x^2)/(a^2-x^2)^(1/2)
=∫a^2/(a^2-x^2)^(1/2)-W
これを最初の式に代入すると
W=x(a^2-x^2)^(1/2)
+∫a^2/(a^2-x^2)^(1/2)-W
よって
2W=x(a^2-x^2)^(1/2)
+∫a^2/(a^2-x^2)^(1/2)
=x(a^2-x^2)^(1/2)+a^2Sin^(-1)(x/|a|)
よって
W={x(a^2-x^2)^(1/2)
+a^2Sin^(-1)(x/|a|)}/2