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問2、3の解説をお願いしたいです。
問2でp<=x<=2p+1を2個に分けるときの分け方を
詳細に教えていただけると嬉しいです。
宜しくお願いします。

「2次関数」の質問画像

A 回答 (2件)

f(x) = ax^2 - 4ax + 1


  = a(x - 2)^2 - 4a + 1

ですから
 y=f(x)
のグラフは
・a > 0 なので下に凸
・頂点は (2, -4a + 1)
・軸は x = 2
ということになります。

(1) f(x) の最小値は x=2 のときで -4a + 1

(2) y=f(x) のグラフと、x の定義域 p≦x≦2p+1 の範囲を見比べてみましょう。
(i) 0<p<2 なので、2≦p≦x≦2p+1 となることはない。
(ii) p<2<2p+1 であれば、f(2) が最小値。
 つまり m=f(2) = -4a + 1
(iii) 2p+1≦2 であれば、f(2p+1) が最小値。
 つまり
  m=f(2p+1)
   = a(2p + 1)^2 - 4a(2p + 1) + 1
   = 4ap^2 + 4ap + a - 8ap - 4a + 1
   = 4ap^2 - 4ap - 3a + 1

(3) これもy=f(x) のグラフと、x の定義域 p≦x≦2p+1 の範囲を見比べてみれば分かります。
 ただし、今度は x の定義域 p≦x≦2p+1 の中央が x=2 の右にあるか、左にあるかで最大値の場所が変わります。
(最大値は f(p) か f(2p + 1) のどちらか)
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極小がpより小さいところにある(従って、f(p)=m)場合と、


極小が2p+1より大きいところにある(従って、f(2p+1)=m)場合と、
極小がpと2p+1の間にある(従って m=極小値)場合と、
に分けるんです。
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