円に内接する四角形ABCDでAB=BC=3、CD=5、DA=8とする。 このとき、∠Aの大きさを求め

円に内接する四角形ABCDでAB=BC=3、CD=5、DA=8とする。
このとき、∠Aの大きさを求めよ。

No.1 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/10/24 05:51

∠A=xとおくと、∠C=180°-x

余弦定理より２方向から

BD²=AB²+AD²-2ABADcos∠A
BD²=BC²+CD²-2BCCDcos∠C
↓
BD²=9+64-48cosx=73-48cosx
BD²=9+25-30cos(180-x)=34+30cosx

34+30cosx=73-48cosx
78cosx=39
cosx=39/78=1/2
X=60°

つまり∠A=60°

この回答へのお礼

お礼が遅くなりました。
ありがとうございました！

お礼日時：2017/11/02 22:02

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2017/10/27 11:24

または、∠Bの二等分線と円との交点を D ' とおくと、

AB=CB=3cm , BD ' は共通 ,∠ABD ' =∠CBD ' だから
△ABD ' と △CBD ' は合同で ∠A+∠C=180°であるから、
∠A=∠C=90°であるから、AD '=CD ' =xとおくと
2・(1/2)・3・x =3・13・√3 /4より
x=13√3 /4 は、5と8の間の値だから、
∠Aは、９０°以下であるとも言える。

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/10/27 10:21

すみませんでした！確かに、No3のご指摘通り、θ=60°と120°の2通りですね！

これに関しましては、補足いたします。厳密性では、意見もあるかもしてませんが、

円に内接する四角形において、作図する場合に、まず、どこでもいいので、1点Bを決め、
そこから、反対方向とに、3 cmの幅で交点を2ヶ所決めて、A,Cとおき、また、そこから
8cmと5cmと円の交わる点Dを決めます。この内接四角形が、問題の四角形です。
すると、点Aは、3cmと8cmとで構成されているので、その角度は、3cmと5cmとで構成される角度よりも鋭角であるので、120°ではなく、60°と決まります。

まず、最初にこの問題を解くにあたり、思いつくのは、No1の回答ですね！先にこたえられたので、他の回答を探して思いついたものです。この公式 ヘロンとブレートシュナイザーの公式の中間の公式は、記述式では、余弦定理による簡単な証明が必要と、HPに記載されていましたが、マーク式テストには、有用とも書いてありました。

No.3 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/10/24 12:12

0 < ∠A < π という条件の下で ∠A を求めたいとき,

cos∠A = 1/2 と sin∠A = (√3)/2 は, どちらがより有益情報か.
cos∠A = 1/2 ならば, ∠A = π/3 と断定できる.
一方, sin∠A = (√3)/2 のとき, ∠A = π/3 か ∠A = (2π)/3 か, すぐには決められない.
なんの説明もせずに ∠A = π/3 と決め付けた場合, 部分点すら与えられないだろう.
質問者には, そういった重要事項を覚えてもらいたい.
本当に入試で使えるのか怪しい, 名前すら聞いたことのない公式もどきは, 極端に言えばどうでもいい.

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/10/24 10:21

内接四角形ABCDの面積は、ブラマグプタの公式より

s=(3+3+8+5)/2
sーa=sーb=(8+5)/2=13/2
sーc=(3+3+5-8)/2=3/2
sーd=(3+3+8-5)/2=9/2
S=√(13/2)^2・(3/2)・(9/2)
=(13/2)・(3/2)√3 =(13・3/2)・(√3/2) …(1)
また、
S=△ABD+△BCD=(1/2)3・8・sin∠A+(1/2)・3・5・sin(πー∠A)
=(1/2)・3・sin∠A・13 …(2)
これが、(1)と同値だから
sin∠A=√3/2 故に、∠A=π/3=60°

ブラマグプタの公式は、入試にも使えるので覚えておこう！