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円に内接する四角形ABCDでAB=BC=3、CD=5、DA=8とする。
このとき、∠Aの大きさを求めよ。

A 回答 (5件)

∠A=xとおくと、∠C=180°-x



余弦定理より2方向から

BD²=AB²+AD²-2ABADcos∠A
BD²=BC²+CD²-2BCCDcos∠C

BD²=9+64-48cosx=73-48cosx
BD²=9+25-30cos(180-x)=34+30cosx

34+30cosx=73-48cosx
78cosx=39
cosx=39/78=1/2
X=60°

つまり∠A=60°
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この回答へのお礼

お礼が遅くなりました。
ありがとうございました!

お礼日時:2017/11/02 22:02

または、∠Bの二等分線と円との交点を D ' とおくと、


AB=CB=3cm , BD ' は共通 ,∠ABD ' =∠CBD ' だから
△ABD ' と △CBD ' は合同で ∠A+∠C=180°であるから、
∠A=∠C=90°であるから、AD '=CD ' =xとおくと
2・(1/2)・3・x =3・13・√3 /4より
x=13√3 /4 は、5と8の間の値だから、
∠Aは、90°以下であるとも言える。
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すみませんでした!確かに、No3のご指摘通り、θ=60°と120°の2通りですね!


これに関しましては、補足いたします。厳密性では、意見もあるかもしてませんが、

円に内接する四角形において、作図する場合に、まず、どこでもいいので、1点Bを決め、
そこから、反対方向とに、3 cmの幅で交点を2ヶ所決めて、A,Cとおき、また、そこから
8cmと5cmと円の交わる点Dを決めます。この内接四角形が、問題の四角形です。
すると、点Aは、3cmと8cmとで構成されているので、その角度は、3cmと5cmとで構成される角度よりも鋭角であるので、120°ではなく、60°と決まります。

まず、最初にこの問題を解くにあたり、思いつくのは、No1の回答ですね!先にこたえられたので、他の回答を探して思いついたものです。この公式 ヘロンとブレートシュナイザーの公式の中間の公式は、記述式では、余弦定理による簡単な証明が必要と、HPに記載されていましたが、マーク式テストには、有用とも書いてありました。
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0 < ∠A < π という条件の下で ∠A を求めたいとき,


cos∠A = 1/2 と sin∠A = (√3)/2 は, どちらがより有益情報か.
cos∠A = 1/2 ならば, ∠A = π/3 と断定できる.
一方, sin∠A = (√3)/2 のとき, ∠A = π/3 か ∠A = (2π)/3 か, すぐには決められない.
なんの説明もせずに ∠A = π/3 と決め付けた場合, 部分点すら与えられないだろう.
質問者には, そういった重要事項を覚えてもらいたい.
本当に入試で使えるのか怪しい, 名前すら聞いたことのない公式もどきは, 極端に言えばどうでもいい.
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内接四角形ABCDの面積は、ブラマグプタの公式より


s=(3+3+8+5)/2
sーa=sーb=(8+5)/2=13/2
sーc=(3+3+5-8)/2=3/2
sーd=(3+3+8-5)/2=9/2
S=√(13/2)^2・(3/2)・(9/2)
=(13/2)・(3/2)√3 =(13・3/2)・(√3/2) …(1)
また、
S=△ABD+△BCD=(1/2)3・8・sin∠A+(1/2)・3・5・sin(πー∠A)
=(1/2)・3・sin∠A・13 …(2)
これが、(1)と同値だから
sin∠A=√3/2 故に、∠A=π/3=60°

ブラマグプタの公式は、入試にも使えるので覚えておこう!
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Q円に内接する四角形ABCDにおいて AB=5.BC=3.B=120°であるとき 円の半径Rと △AC

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AB=5.BC=3.B=120°であるとき
円の半径Rと
△ACDの内接の半径rの求め方と答え
が分かりません。
途中式も書いてもらえたら嬉しいです!
お願いします!!

(補足)上の問題は(1)~(4)まである問題で(1)ではAC=7、(2)ではAD=8をもとめました。

Aベストアンサー

rは、考え方のみ

四角形ABCDは円に内接しているから、∠D=180度ー∠B=60度より
正弦定理から、CDの長さがわかる!
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Bと反対側ですが)であり、Aとその接点Dを結ぶ直線と
接線でできる角Xの∠C ADとの同位角、および角Xの
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Aベストアンサー

Aから辺CDに下ろした垂線の足をFとすると、
∠ADF=45°なので△ADFは直角二等辺三角形となり、
AF=DF=1
△ACFは直角三角形だから、AFもACも分かっているなら三平方の定理からCFは分かりますね。
CD=CF+AF

△CDAの面積は、
CDが底辺、AFが高さだから・・・

Qどうしても解けません…

△ABCにおいてa=√2,B=45°,C=105°とする。
(1)A,bを求めよ
(2)等式c(二乗)-2c-2=0が成り立つことを証明しcを求めよ

(1)は
A+B+C=180°より
A=30°
a/SinA=b/SinBより
√2/Sin30°=b/Sin45°
bSin30°=√2Sin45°
b=√2×1/√2×2
b=2

と出たのですが(2)がどうしても出ません。。。
教えてもらえると嬉しいです。

また、
△ABCにおいて、a:b=(1+√3):2,
外接円の半径R=1,C=60°のとき
a,b,c,A,Bを求める。

これは全然わからなくて…教えてください。。

どちらか片方でも構わないです!!

Aベストアンサー

kasumioneloveさん、こんにちは。

>(1)は
A+B+C=180°より
A=30°
a/SinA=b/SinBより
√2/Sin30°=b/Sin45°
bSin30°=√2Sin45°
b=√2×1/√2×2
b=2

この解法、非常にいいですね。
三角比の正弦定理を使っていますね。

a/sinA=b/sinBより
a/sin30°=b/sin45°
√2/(1/2)=b/(1/√2)
b=(1/√2)*√2*1/(1/2)=2なのでb=2でOKです。

ここでは、同じ正弦定理を使ってでは、求められないです。
sin105°というのが、ぱっと出ないからですね。
ここは、余弦定理を使ったほうがいいですね。

http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku1/sankaku/yogen/yogen.htm

b^2=c^2+a^2-2cacosB
を使いましょうか。

2^2=√2^2+c^2-2√2cos45°
4=2+c^2-2c
c^2-2c-2=0
という2次方程式が出てきました。

>(2)等式c(二乗)-2c-2=0が成り立つことを証明しcを求めよ

が証明されたことになりますね。
あとは解の公式で、求めたらいいですね。
c>0に注意してください。

>△ABCにおいて、a:b=(1+√3):2,
外接円の半径R=1,C=60°のとき
a,b,c,A,Bを求める。

これは、外接円の半径とは、
それぞれの頂点への長さなので、外接円の中心をOとすると
AO=BO=CO=1
ということですね。

正弦定理より、外接円の半径をRとすると

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
でしたから、C=60°が分かっているので、

c/sin60°=2
これを解いてまずc/(√3/2)=2
c=√3
のように出ますね。

あとは、a:b=(1+√3):2ですから
どちらかの文字を消去して、使えばいいのではないでしょうか。

http://www.geocities.co.jp/CollegeLife-Labo/5945/ichi4.html

参考URL:http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku1/sankaku/yogen/yogen.htm

kasumioneloveさん、こんにちは。

>(1)は
A+B+C=180°より
A=30°
a/SinA=b/SinBより
√2/Sin30°=b/Sin45°
bSin30°=√2Sin45°
b=√2×1/√2×2
b=2

この解法、非常にいいですね。
三角比の正弦定理を使っていますね。

a/sinA=b/sinBより
a/sin30°=b/sin45°
√2/(1/2)=b/(1/√2)
b=(1/√2)*√2*1/(1/2)=2なのでb=2でOKです。

ここでは、同じ正弦定理を使ってでは、求められないです。
sin105°というのが、ぱっと出ないからです...続きを読む

Q円に内接する四角形と三角形

『円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=2、BC=2、CD=3、DA=4とする。2つの対角線ACとBDの交点をEとすると、BE:EDの比はどうなるか』という問題がありました。解説がほとんどなく、“BE:ED=△ABC:△ACD”とだけあり、解答が“1:3”となっておりました。なぜBE:EDの比が△ABCの面積と△ACDの面積の比なのかわかりません。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

三角形の面積の比とは関係なく、解答の1:3を導き出す方法もあります。
まず△ABEと△DCEに着目します。
 ∠AEB=∠DEC(対頂角)
 ∠BAE=∠CDE(BCの円周角)
二角が等しいので
 △ABE∽△DCE
 AB:DC=2:3から
 BE:CE=2:3
次に△CBEと△DAEに着目します。
 ∠CEB=∠DEA(対頂角)
 ∠BCE=∠ADE(ABの円周角)
二角が等しいので
 △CBE∽△DAE
 CB:DA=2:4=3:6から
 CE:DE=3:6
したがって
 BE:CE:DE=2:3:6
 BE:DE=2:6=1:3となります。

Q半径Rの円に内接する四角形ABCDについて

各辺の長さと角度について
AB=AD=√3、BD=2√2、cos<ABC=√3/3
sin<BAD=2√2/3、R=3/2、AC=√6
を満たす。

この時の辺CDの長さを求めよという問題です。

求め方と回答の方法が分かりません。
ご回答宜しくお願い致します。

【補足】
余弦定理と正弦定理以外のやり方が必要または
知っておかなければいけない知識があれば合わせて提示して頂きたいです。
お願いします。

Aベストアンサー

各辺の長さと角度について
AB=AD=√3、BD=2√2、cos<ABC=√3/3
sin<BAD=2√2/3、R=3/2、AC=√6
を満たす。

>この時の辺CDの長さを求めよという問題です。

△ABCで、BC=xとおくと、
余弦定理より、
AC^2=BC^2+AB^2-2×BC×AB×cos<ABC
(ルート6)^2=x^2+(ルート3)^2-2×x×ルート3×(√3/3)
6=x^2+3-2x
x^2-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0
x>0より、x=3よって、BC=3
BCは、外接円の直径だから、(R=3/2)
△BCDは、角BDC=90度の直角三角形
CD^2=BC^2-BD^2=3^2-(2ルート2)^2=1
よって、CD=1

何かあったらお願いします。

Q円に内接する四角形の問題

問題:円に内接する四角形ABCDがあります。AB=3、BC=4、CD=DA=2のときの、
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△ABCと△CDAにおいて余弦定理を適用すると
 AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BCcos∠B=CD^2+AD^2-2CD*ADcos∠D
四角形ABCDは円に内接するから∠Bと∠Dは補角の関係にあるから
 ∠B+∠D=180° ∴cos∠D=cos(180°-∠B)=-cos∠B
したがって
 AC^2=3^2+4^2-2*3*4cos∠B=2^2+2^2+2*2*2cos∠B
   =25-24cos∠B=8+8cos∠B
  17=32cos∠B
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円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=7、BC=8、CD=7、DA=15であるときのACの長さの求め方を教えてください。

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内接四角形の対角の和は、180°だから、∠ABC=θとおけば、
∠ADC=180ーθより
△ABCと△ADCにおいて、ACを余弦定理で求めれば良い!

AC=7^2 + 8^2 ー2・7・8・cosθ
=15^2 +7^2ー2・7・15・(ーcosθ)
から求めれば良い!

Q円に内接する四角形

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB = 13 , BC = 14 , CD = 4 , DA = 13 とする。

( 1 ) 線分ACの長さを求めよ。
AC = 15
( 2 ) sin ∠ ABC の値を求めよ。
sin ∠ ABC = 12/13
( 3 ) 四角形ABCDの面積を求めよ。
S = 108
( 4 ) 線分AC と線分 BD の交点をEとする。AEの長さを求めよ。

△ ABC と △ CBD は BD を底辺とすると底辺共通なのでその面積比は高さの比となる
AE : EC = △ ABD : △ CBD
= 1/2 ・13・13・sin∠ BAD : 1/2 ・14・14・sin ∠BCD
= 13・13 : 14・4
= 169 : 56
よって
AE = AC × 169 / ( 169 + 56 )
= 15 × 169 / 225 = 169 / 15

( 4 )の「△ ABC と △ CBD は BD を底辺とすると底辺共通なのでその面積比は高さの比となる 」 はわかるんですが
「 AE : EC = △ ABD : △ CBD 」の、なぜ AE : EC = 面積比 になるんですか?
というか、なぜ AE : EC = 高さの比 になるんですか?

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB = 13 , BC = 14 , CD = 4 , DA = 13 とする。

( 1 ) 線分ACの長さを求めよ。
AC = 15
( 2 ) sin ∠ ABC の値を求めよ。
sin ∠ ABC = 12/13
( 3 ) 四角形ABCDの面積を求めよ。
S = 108
( 4 ) 線分AC と線分 BD の交点をEとする。AEの長さを求めよ。

△ ABC と △ CBD は BD を底辺とすると底辺共通なのでその面積比は高さの比となる
AE : EC = △ ABD : △ CBD
= 1/2 ・13・13・sin∠ BAD : 1/2 ・14・14・sin ∠BCD
= 13・13 : 14・4
= 169 : 56
よっ...続きを読む

Aベストアンサー

>>「 AE : EC = △ ABD : △ CBD 」の、なぜ AE : EC = 面積比 になるんですか?
というか、なぜ AE : EC = 高さの比 になるんですか?

AからBDに垂線を引いてください。交点をXとします。すると△ ABDのたかさはAXです。∠AEX=θとおくとAX=AEsinθ
同様に
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四角形ABCDは円Oに内接し、AB=1、BC=1,CD=2,∠BCD=120°である。
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ヒントでもいいので回答よろしくお願いします

Aベストアンサー

三角形の相似比から、
CE:AE=DE:BE=2:1

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DE=DA+AE=3+AE
x=AE、y=BEとでも置けば、普通の連立方程式ですから解けますね。


△ECDの面積=CD×CE×sin(120°)/2

△ECDの内接円の半径rは、
△ECDの面積=(EC+CD+DE)×r/2
から、
r=(△ECDの面積)×2/(EC+CD+DE)


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