至急お願いします 不定方程式2x+3y+z=10を満たす自然数の組xyzをすべて求めよ という問題で

至急お願いします

不定方程式2x+3y+z=10を満たす自然数の組xyzをすべて求めよ

という問題で、解答が

yについて整理すると3y=10-2x-z
x≧1、z≧1なら
3y=10-2x-z≦10-2×1-1=7
…でした。

なぜ、1を当てはめた10-2×1-1が10-2x-zよりも大きいのでしょうか？

No.1 回答者： 基央 回答日時： 2017/10/25 00:57

前提はx.y.z.すべて自然数ということを頭に置いておきます。

まず、整理した式は3y＝10－2x－zなので、x.z.が大きくなるほどに3y.すなわちyは小さくなっていきます。というわけで、最も小さい自然数1を入れたとき、最大値をとる。という意味で、<=なんだと思います。もちろん＜＝なので、同じ場合もあり得ます。長くなってすみません。

No.2 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/10/25 01:16

ａ≦ｂ　かつ　ｃ≦ｄ　　ならば　　ａ＋ｃ≦ｂ＋ｄ　　･････　①

ａ≦ｂ　　ならば　　ａ＋ｃ≦ｂ＋ｃ　　･････　②


これらの性質を使えば、

ｘ≧１，ｙ≧１　のとき

－2ｘ≦－2，－ｙ≦－1　だから

辺々加えて

(－2ｘ)＋(－ｙ)≦(－2)＋(－1)　　⇐　①

両辺に　10　を加えて

10＋(－2ｘ)＋(－ｙ)≦10＋(－2)＋(－1)　　⇐　②

10－2ｘ－ｙ≦10－2－1

が成り立つ

No.3 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2017/10/25 09:59

解説でどのようにその式が書かれていたのかわからないのですが、

「最小の自然数である１をｘとｚに代入しても３ｙは７以下だ」ということを意味したいものと思います。
３ｙ≦７が条件となりｙ＝１または２となって、あとはｙ＝１の場合とｙ＝２の場合でｘとｚの組み合わせを求めるのではないでしょうか？

個人的には、そのような面倒な表現をしなくても、
2x+z≧3なので、3y≦7
くらいの表現でも十分ではと思います。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2017/10/25 11:17

＞ なぜ、1を当てはめた10-2×1-1が10-2x-zよりも大きいのでしょうか？

3y=10-2x-z=10-(2x+z)　ですから、x≧1、z≧1 の条件下では
x=1, z=1 の時に 10-(2x+z) の値が最大なりますね。
ですから、3y≦7 となります。

No.5 回答者： usa3usa 回答日時： 2017/10/25 13:46

＞ なぜ、1を当てはめた10-2×1-1が10-2x-zよりも大きいのでしょうか？

引けば引くほど式の値は小さくなります。
式の最大値は、引く値が最小（1を当てはめた）の場合ですよね。