放物線と接線について。この1番下の線を引いたとこがよくわかりません。②から分かるのは傾きじゃないんで

放物線と接線について。この1番下の線を引いたとこがよくわかりません。②から分かるのは傾きじゃないんですか？①からこの座標を出すなら理解できるんですが、、、
それと、(1)も(2)も2点の座標を自分でおいてから求めることはできませんか？(1)はできたんですけど、(2)ができないので解答の方法でやろうと思い、今にいたってます

質問者からの補足コメント

• すいません、自分で引いた線のことです。
  「よって②の2解をα、βとすると２つの接点は〜」のとこです。
  
  自分でおくというのは、この問題集にある方法ではなくて、放物線と直線との2点の接点を自分で定めるということです。説明不足ですみません

    補足日時：2017/10/25 18:33

• 2人ともありがとうございます。
  詳しい説明ありがとうございました。解答が何回読んでも分からずいらいらしてたのでほんとに助かりました。

    補足日時：2017/10/25 21:14

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2017/10/25 20:03

No.1&2です。

No.2と入れ違いで「補足」が記載されていたのですね。

＞「よって②の2解をα、βとすると２つの接点は〜」のとこです。

解くべき問題を整理して、
・二次曲線 y=x^2 と 直線 y=mx + n との「接点」の x 座標は①の重根である。
ということと
・ 二次曲線 y=x^2 の2つの接線の傾きは②の２つの実数根である。
ということをきちんと区別しましょう。

「よって②の2解をα、βとすると２つの接点は〜」の部分に書かれていることは、次のようなことです。

まず、上に書いたように、「接点」の x 座標は
　x^2 - mx + (ma - b) = 0　　①
の重根になります。これは
　(x - m/2)^2 - m^2/4 + ma - b = 0
→　(x - m/2)^2 - (1/4)(m^2 - 4am + 4b) = 0　　③
と書け、②にあるように
　m^2 - 4am + 4b = 0　　←②そのもの
ですから、③は
　(x - m/2)^2 = 0
つまり重根は
　x = m/2
ということになります。

では、m はいくつか、ということで、これは②の根ということになります。これを「α と β」とおいています。
もちろん、②式から根の公式で
　m = [ 4a ± √(16a^2 - 16b) ]/2
　　= 2a ± 2√(a^2 - b)　　　　　　④
としても同じです。

(2)の場合は、「2つの接点の座標」が問題になっているので、この「接線の傾き」を一生懸命に計算するよりは、「二次曲線上の接点の座標」をさっさと求めればよいのです。

m の2つの解を「α と β」とおけば、接点の x 座標は x=m/2 だとわかっているので、接点の座標は y=m^2/4 から
　 (α/2, α^2/4) と (β/2, β^2/4)
となるので、その2点を通る直線を
　y = cx + d　　　⑤
とおけば
　α^2/4 = c*(α/2) + d　　　⑥
　β^2/4 = c*(β/2) + d　　　⑦
より、⑥-⑦で
　(1/4)(α^2 - β^2) = (c/2)(α - β)
α ≠ β　と考えてよいので
　(1/2)(α + β) = c
⑥に代入して
　α^2/4 = (1/2)(α + β)*(α/2) + d
より
　d = α^2/4 - (1/4)α(α + β) = α^2/4 - α^2/4 - (1/4)αβ = - (1/4)αβ

よって、2つの接点を通る直線は、⑤にこれらを代入して
　y = (1/2)(α + β)x - (1/4)αβ　　　⑧

一方、二次方程式の「解と係数との関係」より（実際に④から計算してもよい）
　α + β = 4a
　αβ = 4b
です。これを使えば、⑧は
　y = 2ax - b
であり、この直線は a の値（傾き）がいくつであっても、常に「y 切片 (0, -b)」を通ることが分かります。

(1) の結果から、b = -1/4 が得られているので、これは「常に y 切片 (0, 1/4) を通る」ということです。


＞自分でおくというのは、この問題集にある方法ではなくて、放物線と直線との2点の接点を自分で定めるということです。

はい、それでもよいですよ。というか、上の解法もそうやっていますよ。
「放物線と直線との2点の接点」は、上のように x=m/2 になり、これに「接線であるための m の値」を求め、さらに「直交する接点の交点 (a, b)」の条件を入れているだけですから。

要するに「解答」に書かれていることが、何をやっているのか理解できていない、ということなのですね。

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2017/10/25 19:49

自分の回答を載せた上での説明でないと、非常にわかりずらいです！

具体的には？自分できめるとは？

y=m(xーa)+b とmを接線の傾きとしておいてありますね！
だから、mの2次式の解 例えば、α=m1(は、自分で決めた！)とβ=m2(自分で決めた！)は、左右の接線の傾きですね！
ですから、2つの接線は直交するとは、接線と法線の傾きの積がー1で、bのみで、
aに依存しない！また、mにも依存しないから、bをyに変えて、方程式らしく
y=ー1/4 (準線と言う)

y=2ax+1/4で、x=0なら、aはどんな値でもいいので、いつでも、(0,1/4)を通るということでしょうか！？

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/10/25 19:05

No.1です。

どこが分からないのか理解できませんが、「二次関数の接点」の座標と、直交する2つの接線の交点の座標とを混同していませんか？

問題で問われていることを冷静に考えて、自分の疑問が何なのか、何か勘違いしていることがないかをもう一度整理してみてください。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/10/25 17:18

＞1番下の線を引いたとこ

とは「直線 y = -1/4」ということですか？

＞(1)も(2)も2点の座標を自分でおいてから求めることはできませんか？

＞(2)ができないので解答の方法でやろうと思い、今にいたってます

ってどういうことですか？

数学以前に、自分の主張を相手に正しく論理的に伝える能力を養う必要があると思います。（「日本語」「国語」も含めてということです）