円周の求め方

学生です。ちゃんと勉強をしていなかったことを後悔しています。

πの定義の方法は色々あるのかなとは思いますが、半径１の円の面積をπと定義します。
そうしますと半径rの円の面積はπr^2であることは自明です。

そして円周は2πrと教わりましたが、その証明ができません。
一応三角関数は使えるのですけれど、色々頑張っても証明にたどり着いていません。

上記定義（つまり円の面積をπとする）と三角関数のみで円周が2πであることを教えてもらえませんか？
それだけの知識では足りないのであれば、そのことも併せて教えてください。


モヤモヤして眠れません。
どうかよろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 数学以外のカテゴリに投稿していましたことに気がつき数学のカテゴリでも同一の質問をしています。
  https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10022417.html
  ご参考いただければ幸いです。

    補足日時：2017/10/29 02:34

No.6 ベストアンサー 回答者： angkor_h 回答日時： 2017/10/28 22:07

No.4です。

> 円周と円の面積の関係を分かりやすく説明…
No.4の内容において、
L=円周
dL=細分した円弧の長さ≒細分した二等辺三角形の底辺
とすれば、その個数は、
L/(dL)
なので、円の面積Sは細分した二等辺三角形の面積の総和なので、
S=L/(dL) * (1/2) * r * dL
=(1/2)Lr
これが、 円周と円の面積の関係になります。

なお、Pi=(L/2)/r ですが、上記はPiの実数を求めるものではありません。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>なお、Pi=(L/2)/r ですが、上記はPiの実数を求めるものではありません。
私はπの実数を求める最適解を求めているわけではありませんのでお気になさらないでください。

ちょっとびっくりしています。

ありがとうございます。

お礼日時：2017/10/29 02:50

No.5 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/10/28 18:01

半径 1 の円の面積が ξ であることの説明は, 高校数学の参考書に書いてあるから買って読め, とアドバイスしたはずです.

回答者に要求するだけで, 回答者のアドバイスに耳を傾けない質問者に, これ以上の協力はできません.

この回答へのお礼

>貴方は常識を証明することを, 本気で要求しているのですか.

常識とは、１８歳までに身につけた偏見のコレクションのことを言う。(アインシュタイン)
公理や定理は説明できるものでしょう。

e^iπ + 1 = 0
e^iθ = cosθ + i sinθ　
（オイラー）
オイラー先生はこの式でeとπの関係を示しています。
ちゃんと証明できます。常識というものではありません。

私がふと考えましたのは円を上下に半分にして、上部の円弧を原点に配置します。
この円弧(x = 0 → 2)の面積は当然π/2です。
面積ではなく円弧の長さをπと定義した場合
その面積がπ/2であることを示したいのです。
ただ積分するにも関数を今導けていませんし、
変形させるにもどのような変形関数を利用可能かわからないのです。

>半径 1 の円の面積が ξ であることの説明は
私ははっきりと半径１の円の面積をπとすると最初から申しています。
さてその時の円の面積と円周の長さの説明にはなっていないと思います。
それは、公理でも定理でもなく「常識」なんでしょ。
そして、「常識」を証明することは不可能なのでしょう。

現代自然科学にて「常識」なる魔女狩り用語はお控え願いたく存じます。
少々信じ難い事柄に存じます。

お礼日時：2017/10/28 19:03

No.4 回答者： angkor_h 回答日時： 2017/10/28 16:49

No.1です。

> 円周と円の面積の関係を分かりやすく説明することが今回の質問であったのだと思います。
であれば、
円面を、中心を通る線で細かく裁断して、円弧面を下にして直線に並べれば、
扇形≒二等辺三角形の列ができ、この時の横長さは円周に、高さは半径に相当します。
三角形の面積の公式から、この三角形の列の面積は以下になります。
底辺長×高さ÷2=円周×半径÷2　=三角形列の総面積=円の面積

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

この方法は以前icuにいらした野崎先生の書籍で拝読しました記憶があります。
ですが、私がそれを数式化できていないのです。

ヒントだけでもご教授願えませんでしょうか？

何卒よろしくお願いいたします。

お礼日時：2017/10/28 19:08

No.3 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/10/28 02:45

貴方が先に π を使ってしまったので, 私は仕方なく ξ を使います.

直径 1 の円の円周を ξ と定義します.
そうしますと, 半径 1 の円の円周が 2ξ であることは自明です.
そして, この円の面積が ξ であることは常識です.
よって ξ = π であり, この円の円周は 2ξ = 2π です.
貴方は常識を証明することを, 本気で要求しているのですか.
使えるのは三角関数だけとのことですが, 三角関数の微分や積分は使えるのでしょうか.
高校の数学参考書に, 半径 1 の円の面積を求める方法が, 詳しく書かれています.
一冊購入して, 読んでみてはいかがでしょうか.
そうすれば, きっと熟睡できますよ.

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
半径１の円周が2ξであることは理解できます。この時の円の面積はπとなります。
>この円の面積が ξ であることは常識です
いえ、そこを数学的に説明頂きたいのです。
私はπの実体ではなく、円の面積と円周の関係を自分で説明ができないので悩んでいます。

お礼日時：2017/10/28 11:56

No.2 回答者： 銀鱗 回答日時： 2017/10/27 23:48

なんか円周率関係の質問が重なるなあ。

もう一つは小学生向けの説明だったような気がする。

円周率の計算は、
直径１の円の円周は、その円に内接する正多角形と円に外接する相似の多角形の外周の間である（図）というところから計算されています。
ほかにも円周率を求めるアルゴリズムがありますが、まあ、これが最も（？）有名な考え方ですね。


・・・余談・・・
この考え方のもとには円周率は有限数ではないと主張するかたもいらっしゃいますが、
なんか違うんだよなあ。と自分はぼんやりと感じています。

・・・そして突っ込み・・・
＞半径１の円の面積をπと定義します。
そんな無茶な定義は認められません( ･`д･´)
前後関係が逆だ。それ。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
>・・・そして突っ込み・・・
>＞半径１の円の面積をπと定義します。
>そんな無茶な定義は認められません( ･`д･´)
この定義はサージ・ラング先生の子供用教本か冊子でラング先生のご主張ですので、私に文句を言われても困ります。ご面倒でもラング先生にどうぞ。（お亡くなりですが）

またπがどんな値であるのか自体には率直に興味がありません。
無論、πは正多角形の極限ですから例えばatanのマクローリン展開などで求めることはできるでしょう。
そしてそれはとても非効率的でもあるようにも思います。

３のご回答のお礼にも記しましたが円周と円の面積の関係をなるべく分かりやすく説明したいのです。

πが有理数か無理数かということについては、有理数・無理数の定義の問題と存じますので、私が口を挟むものではありません。

お礼日時：2017/10/28 12:08

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2017/10/27 23:33

円の中心から線を2本ばして挟まれた円弧とでできる扇形について、

円弧の長さ÷半径=角度[rad]　…2本の線の円弧までの長さは同じで、半径に一致します。
の関係にあり、
円周率とは、これが半円の時の角度[rad]に一致します。

冒頭の扇形において、2本線の狭角が十分小さければ、扇形は二等辺三角形に近似できるので、※
この底辺(≒円弧の長さ)を測り、半円となる個数分を足し合わせれば、円周率が出ます。

※　角度が十分小さいときに、tanΘ≒Θ、sinΘ≒Θ　が成り立つ理由です。
　例えば、勾配1/100の角度は、0.01[rad]です。

ご参考まで。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

回答３、２のお礼にも記しましたが、円周と円の面積の関係を分かりやすく説明することが今回の質問であったのだと思います。（できれば小学生にもわかるように）

ご回答の趣旨はよくわかるのですが、円の面積とその円周の関係を示すには
やはり一足飛びには行かず、円周を求める作業が必要なのでしょうか？

お礼日時：2017/10/28 12:19