ガウス平面問題

ガウス平面の問題です。A=3+4i,B=-1-5iのとき底辺をABとする三角形A,B,CがAC=BCが等しく高さが√13となる二等辺三角形になるようC=a+biを求めよとの問題です。
√13をどう扱えばいいかがわかりません、どうぞご教授のほどよろしくお願いいたします。

No.1 回答者： kawano_medaka 回答日時： 2017/10/29 08:35

問題を図にしました。

点CはA－Bの中点Oから鉛直に√13にあり、二等辺三角形です。この図を前提に進めます。
線分A-Bの傾きは　9/4 であり　線分O-Cの傾きは4/9 です。
O-Cは√13　x,yの値が分かれば点Cの座標が求められます。
ｘ²+ｙ²＝√13
(O-C)²＝9²+４²=(√13)²=√97　
9:ｘ=√97:√13
x≒√10.86
x≒3.29
y=(4/9)×3.29=1.46
C店の座標は(2+3.29,-0.5-1.46)=5.29,-1.96
C=5.29+j-1.96
以上です。計算精度はご確認をお願いします。

No.2 回答者： springside 回答日時： 2017/10/29 08:44

高さが√13だから、ABの中点(1-(1/2)i)とC(a+bi)との距離が√13ということですね。

No.3 回答者： diff3356 回答日時： 2017/10/29 09:23

複素数のまま計算してみます。

線分ABの中点Ｍを表す複素数は、1 - (1/2)i ですから、問題の点Ｃを表す複素数はkを実数として、
k*{(3+4i) - (1 - i/2)}*e^(pi*i/2)+(1 - i/2)=k*{-9/2+2i}+(1 - i/2). です。
ここで、|k*{-9/2+2i}|=√13 ゆえ、k=±2√(13/97).
よってＣを表す複素数は上記ｋに対し、
(-9/2)k+1 +(2k - 1/2)*i. です。
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※ 近似値を計算するとCを表す複素数は、
-2.29279+0.96435*i, or 4.27479 - 1.964353*i.

No.4 回答者： springside 回答日時： 2017/10/29 14:01

この問題、解くと、

　　(a,b) = ( (97±9√1261)/97, (-97∓8√1261)/194 )　（複号同順）

というちょっと汚い答になりますが、問題は合ってますか？