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cos(ωt)をフーリエ級数展開すると、答えは0ですか?

A 回答 (1件)

下記サイトを参考にしてください。


http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-2-5Fourierhenka …
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この回答へのお礼

参考にさせていただきます。
ありがとうございます。

お礼日時:2017/11/01 14:46

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Qcos(wt)のフーリエ変換について

g(t)=cos(wt)
をフーリエ変換したいのですが、
F[{exp(jwt)+exp(-jwt)}/2]
=F[exp(jwt)]/2+F[exp(-jwt)]/2

まではわかったのですが、この後どう進めればいいのでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#1,#2です。

A#2の補足の質問の回答

>=(1/2)δ(f0-f)+(1/2)δ(f0+f)
>で合ってますでしょうか?

間違いではないけど普通は
=(1/2)δ(f-f0)+(1/2)δ(f-f0)

なお、fは周波数を表す変数、f0は信号の周波数で定数
フーリエ積分で使うδ関数の定義ではδ(f)は偶関数で
δ(-f)=δ(f)です。

>∫[-∞,∞]exp(j2πft)=δ(f)
F(f)=δ(f)…(B) の時、
フーリエ逆変換の定義式から
f(t)=∫[-∞,∞]F(f)e^(j2πft)df
=∫[-∞,∞]δ(f)e^(j2πft)df
  =e^(j2π0t)=1 …(B)
このf(t)のフーリエ変換の定義式から
F(f)=∫[-∞,∞]f(t)e^(-j2πft)dt
=∫[-∞,∞] e^(-j2πft)dt ((B)を代入)
(A)からF(f)=δ(f)なので
 ∫[-∞,∞] e^(-j2πft)dt =δ(f)
この左辺でt=-t'と置換すると
 左辺=∫[-∞,∞] e^(j2πft')dt'=δ(-f)
が出てきます。
 この式で -f=f'と置換し、f',t'を改めてf,tと書くと
 左辺=∫[-∞,∞] e^(-j2πft)dt=δ(f)
が出てきます。
以上から
δ(f)=δ(-f)=∫[-∞,∞] e^(j2πft)dt
=∫[-∞,∞] e^(-j2πft)dt
という関係があることが分かります。

#1,#2です。

A#2の補足の質問の回答

>=(1/2)δ(f0-f)+(1/2)δ(f0+f)
>で合ってますでしょうか?

間違いではないけど普通は
=(1/2)δ(f-f0)+(1/2)δ(f-f0)

なお、fは周波数を表す変数、f0は信号の周波数で定数
フーリエ積分で使うδ関数の定義ではδ(f)は偶関数で
δ(-f)=δ(f)です。

>∫[-∞,∞]exp(j2πft)=δ(f)
F(f)=δ(f)…(B) の時、
フーリエ逆変換の定義式から
f(t)=∫[-∞,∞]F(f)e^(j2πft)df
=∫[-∞,∞]δ(f)e^(j2πft)df
  =e^(j2π0t)=1 …(B)
このf(t)のフーリエ変換の定義式から
F(f)=∫[-∞,∞...続きを読む

Qsinωtの複素フーリエ係数がわかりません…

題名の通りです。
e(t)=Asinωtについてパーシバルの等式が成り立つことを確かめよという問題なのですが、
複素フーリエ係数Cnを求めると、何度やっても0になってしまいます…
いくつになるのが正しいのでしょうか?

Aベストアンサー

#1です。

A#1にミスがありましたので訂正します。

>e(t)=Asin(ωt)=(A/2){e^(jωt)+e^(-jωt)} ←間違い
正:e(t)=Asin(ωt)=(A/(2i)){e^(jωt)-e^(-jωt)}

>なので基本周期T=2π/ωとして
>e(t)=Σ(n=-∞,∞) Cn e^(jnωt)
>  =C1 e^(jωt) +C-1 e^(-jωt)
>C1=C-1=A/2, ←間違い
正:C1=-iA/2 C-1=iA/2,

>Cn=0(n≠±1)
>となります。

Qフーリエ級数|cosx|

f(x)=|cosx|
をフーリエ級数で近似したいのですがa0、ak、bkがずべて0になってしまうのですが・・・
この関数はフーリエ級数で近似できないのですか?

Aベストアンサー

> 答えは
> 2/π +(4cos2x)/3π -4cos4x/15π+・・・+(4cos2nx×(-1)^(n+1))/(4n^2-1)π+・・・・
> でよいでしょうか?

そうだと思います.

Qフーリエ級数展開について教えてください

下記のフーリエ級数展開がよくわからなくて困っています。
sinなので奇関数の話となるかとも思うのですが、絶対値となると・・・?
また、積分範囲が-πからπではないところも悩んでいます。

おわかりのかた、数式もあわせ、解法をお教えいただきたいです。

u(t) = | A*sin(ωt) | (-T/2 ≦ t ≦ T/2)
(A*sin(ωt)は絶対値記号の中です)

・u(t+T) = u(t)
・ω= 2π/T
・Aは定数

よろしくお願いします m(_ _)m

Aベストアンサー

(ωは入力が面倒なんでwで代用させてもらいます。)

u(t)は周期Tの周期関数なので
 u(t)=a0/2+Σ[n=1,∞] {an*cos(nwt)+bn*sin(nwt)}
とフーリエ級数に展開できる。
ここで
u(t)は偶関数なので
 bn=0(n=1,2,3, ...)
また偶関数であることから
0≦t≦T/2のとき、すなわち 0≦wt≦πのとき u(t)=|A|sin(wt)≧0なので
 a0=(2/T)*2∫[0,T/2]|A|sin(wt)dt
  =(4|A|/T)[-cos(wt)/w][0,T/2}
  =(2|A|/π){1-cos(π)}
  =4|A|/π
an(n=1,2,3, ...)は
n=1のとき
 an=(2/T)*2∫[0,T/2] |A|sin(wt)cos(wt)dt
  =(2|A|/T)∫[0,T/2] sin(2wt)dt
  =(2|A|/T)[-cos(2wt)/(2w)][0,T/2]
  =(2|A|/(2wT))[1-cos(wT)]
  =0 (∵wT=2π)
n≧2のとき
 an=(2/T)*2∫[0,T/2] |A|sin(wt)cos(nwt)dt
  =(2|A|/T)∫[0,T/2]{sin((n+1)wt)-sin((n-1)wt)}dt
  =(2|A|/T)[-cos((n+1)wt)/((n+1)w)+cos((n-1)wt)/((n-1)w)][0,T/2]
  =(|A|/π)[{1-cos((n+1)π)}/(n+1) -{1-cos((n-1)π)}/(n-1)]
  =(|A|/π)[{1-(-1)^(n+1)}/(n+1) -{1-(-1)^(n-1)}/(n-1)]
  =(|A|/π)[{1-(-1)^(n+1)}/(n+1) -{1-(-1)^(n+1)}/(n-1)]
  =(|A|/π)[{1/(n+1) -1/(n-1)}+{(-1)^n}{1/(n+1) -1/(n-1)}]
  =(|A|/π)[-2/(n^2-1) -2{(-1)^n}/(n^2-1)]
  =-(2|A|/π){1+(-1)^n}/(n^2-1)
n=偶数(≧2)のとき
 an=-4|A|/{π(n^2-1)}
n=奇数(≧3)のとき
 an=0

以上まとめると
 a0=4|A|/π,
 an=0(n=(1以上の奇数)), an=-4|A|/{π(n^2-1)}(n=(2以上の偶数))
 bn=0(n≧1)
となります。
従ってu(t)のフーリエ級数展開は次の通り。
 u(t)=2(|A|/π)-4(|A|/π)Σ[k=1,∞] cos(2kwt)/(4k^2-1)

(注)グラフに書くと n や kの上限 を十分大きくとれば級数展開式のグラフと
|Asin(wt)|(wt=2π)のグラフが殆ど一致することが分かります。

(ωは入力が面倒なんでwで代用させてもらいます。)

u(t)は周期Tの周期関数なので
 u(t)=a0/2+Σ[n=1,∞] {an*cos(nwt)+bn*sin(nwt)}
とフーリエ級数に展開できる。
ここで
u(t)は偶関数なので
 bn=0(n=1,2,3, ...)
また偶関数であることから
0≦t≦T/2のとき、すなわち 0≦wt≦πのとき u(t)=|A|sin(wt)≧0なので
 a0=(2/T)*2∫[0,T/2]|A|sin(wt)dt
  =(4|A|/T)[-cos(wt)/w][0,T/2}
  =(2|A|/π){1-cos(π)}
  =4|A|/π
an(n=1,2,3, ...)は
n=1のとき
 an=(2/T)*2∫[0,T/2] |A|sin(wt)cos(wt)dt
  =(2|A|/T)∫[0...続きを読む

Qフーリエ変換について質問です フーリエ変換、 F(ω)=∮(-∞→∞)f(t)e^(-jωt)dt

フーリエ変換について質問です
フーリエ変換、
F(ω)=∮(-∞→∞)f(t)e^(-jωt)dt

において、|F(ω)|の大きさは元の関数f(t)の中で、周波数がω成分の波の振幅をどれだけ持っていたかを表すということでいいのですよね?

では、絶対値ではない複素数のF(ω)自体は何を表しているのでしょうか?
同じ|F(ω)|=13 でも、
F(ω)=12+5j と F(ω)=5+12j
のように、実部と虚部はそれぞれ何を表しているのでしょうか?

また、F(ω)=|F(ω)|θ(ω)

としたときの、位相スペクトルθ(ω)は何を表しているのでしょうか?


どれか一つでもよいので、教えていただけると幸いです。

Aベストアンサー

自分で「位相」とお書きの通り、位相ですよ。
  |F| sin(ωt + φ) = |F| (A cos(ωt)+i B sin(ωt))
と表せば、θがどう書けるかは簡単にお分かりでしょう。

Qcosxのフーリエ級数が分かりません akの結果が0となってしまいます 何故でしょうか??

cosxのフーリエ級数が分かりません
akの結果が0となってしまいます
何故でしょうか??

Aベストアンサー

k≠1ならそうなって当たり前。
cos(x)をフーリエ級数展開したらa1以外のフーリエ係数は必ず"0"になります。

フーリエ級数展開というものがまだわかっていないようですね。
周期関数をsin(kx),cos(kx)という同じ振動数か倍音の重ね合わせで表すのがフーリエ級数展開です。
cos(x)はそれ自体2π周期の単音しか含まず、倍音成分を含んでいないのです。


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