∫√(1＋4a²x²)dxの解き方を教えてください。

∫√(1＋4a²x²)dxの解き方を教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： mathstudent 回答日時： 2017/11/06 09:54

∫√(1＋4a²x²)dx

＝2a∫√((1/4a²)＋x²)dx
＝2a∫√((1/2a)²＋x²)dx
＝2a×(1/2){x√((1/2a)²＋x²)＋(1/2a)²{log(x＋√((1/2a)²＋x²))}}
＝ a×(1/2){x√((1/2a)²＋x²)＋(1/2a)²{log(x＋√((1/2a)²＋x²))}}
＝ a×(1/2){x√((1/2a)²＋x²)＋(1/2a)²{log(x＋√((1/2a)²＋x²))}}
＝ 2a×(1/2){x√((1/2a)²＋x²)＋(1/2a)²{log(x＋√((1/2a)²＋x²))}}

よって、

ax√((1/2a)²＋x²)＋(1/4a){log(x＋√((1/2a)²＋x²))}＋C

∫√(a²＋x²)
＝(1/2){x√(a²＋x²)＋alog(x＋√(a²＋x²))}は重要公式です。

答えの表しかたは一通りではありません。wolfram alphaでa＝1で計算すると、これと少し式の形は違いますが、定数項の違いなので、答えがいくつもあるわけではありません。

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/11/06 14:37

x=sinhy /(2a)

(coshy /(2a))^2ー(sinhy /(2a))^2=1/(2a)^2
dx/dy=coshy /(2a)

与式=2a ∫ ( coshy /(2a))^2 dy
=1/(4a)・∫ (1+cosh2y)dy
=1/(4a)・(y+sinh2y /2)
=1/(4a)・(y+sinhy・coshy)
=1/(4a)・(sin-1 2ax +2ax・√｛ (1/2a)^2 +x^2 ｝

sin-1 x=log (x+√(x^2+1))より願います！