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「二つの相似形の円錐AとBがあります。
Aの高さをa、Bの高さをbとすると、AとBの低面積の比は(a^2:b^2)となる。」
これを証明してください。よろしくお願いします。

A 回答 (4件)

数式的な証明はNo.1のかたがされているので、


考え方を説明しておきましょう。


円錐を横から見ると三角形に見えます。
この三角形の頂点から底辺に垂線を下すと、
<直角>を<円錐の高さ>と<円錐の底面の半径>で挟んだ
直角三角形になります。

二つの相似形の円錐AとBがあるとのことなので、
当然、円錐AとBから作り出した直角三角形も相似になります。
都合上この二つの直角三角形A',B'としておきます。

Aの高さをa、Bの高さをb とすると、A'の高さもa、B'の高さもb です。
ですので、相似の三角形A',B'において、辺の比はa:bになります。

仮にA'の底辺をrとおけば、
a:b=r:x
x=rb/a
より、B'の底辺はr・b/a です。

このとき、r は円錐Aの底面の半径でもあるから円錐Aの底面積は πr²、
r・b/a は円錐Bの底面の半径でもあるから円錐Bの底面積は πr²(b/a)²
になります。

したがってAとBの底面積の比は、
<円錐Aの底面積>:<円錐Bの底面積>
=πr² : πr²(b/a)²
=1 : b²/a²
=a² : b²
ということになります。


----------
考え方が理解できていれば、上のように長々と説明する必要はありません。
相似であることと辺の比がa:bになることから、半径もa:bになり、
結果として底面積の比がa²:b²となるのです。
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その比をaとすると


長さは比そのままa、面積はa×a=a²、体積はa×a×a=a³
お尋ねの件は高さがa:b 当然底部の半径または直径もa:b 底面積はπ×r² 
仮に半径の比がa:b なら面積はπ×a²:π×b²=a²:b²........以上です。
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円錐だけでなく、相似な形の面積比って、長さの2乗比になりますよ。



ちなみに体積比は3乗比になります。

粘度でできてる相似な物体を、立方体に造り変えると考えてみたら理解しやすいです。

証明は、既に回答がありますが公式を使えばできますね。
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Aの底辺半径をxと置けば、Bの底辺半径はx・b/a



底面積はx²、x²・b²/a²

底面積比率はx²:x²・b²/a² = x²・a²:x²・b² = a²:b²
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どなたか解説お願いします。

Aベストアンサー

>相似比を2乗すると面積比なるはずですが、どうして底面積だけ4倍なのでしょうか?

底面だけ比べても相似だからです。(側面積も同様に4倍です。)

>円錐A+円錐台Bの面積比が4倍になるではダメなのでしょうか?

高さと底面積から体積を求めるので、底面積だけについて述べた方がいいでしょう。


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