正規分布であるような母集団から採取された標本のσはどのような分布になる？ 正規分布となる母集団から｢

正規分布であるような母集団から採取された標本のσはどのような分布になる？

正規分布となる母集団から｢a個ずつからなる標本｣をn群を取り、それぞれの標本の標準偏差をσ1、σ2、...σnとすると、σ全体はどのような分布となるのでしょうか。
aが少ないうちはσ全体の分布はブロードに、aが大きくなるにつれてσ全体の分布はある一つの値に収束していくのだろう、ということは想像できるのですが...。
具体的に名前のある分布になるのでしょうか。お詳しい方のお知恵をお借りしたいです。よろしくお願いします。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/11/07 12:25

質問者さんが質問したいことは、何となく「標本の標準偏差の分布」ではなく、「標本平均の分布の標準偏差」のような気がするのですが、違いますか？

「標本平均の分布の標準偏差」であれば、統計で言うところの「母集団」と「標本」の関係の基本です。

それぞれの標本の「平均」は、母集団の「平均」の周りにランダムに分布するので、結果的に標本平均は「母平均を平均とする正規分布」になることは分かりますね？　その「a個からなる標本平均の分布の標準偏差」は、母集団の標準偏差を σ とすると「σ/√a 」になります。この辺は必ず教科書に載っています。（標本の大きさ（標本サイズ） a が小さいときには、「σ/√(a - 1) 」という「不偏標準偏差」になることも書いてあると思います）

ただ、質問文の書かれているような「ある一つの値に収束していく」というのとは意味が違います。「分布のピークが鋭くなる」ということです。（それを表わすパラメータが、その分布の「標準偏差」ということです）

では、これをn回繰り返したときの結果は？
これは、上記の「標本平均の分布の標準偏差：σ/√a」はあくまで「期待値」であって、実際の観測値はこの周りにランダムに分布します。これを「標本の数 n」だけ採ってきて平均すれば、その「ばらつき」「誤差」が小さくなり、より「σ/√a」に近づく、ということです。

これを、a個からなる標本を n 回採ってきて、合計「an個」のサンプルの標準偏差を求める、ということになれば、それは「σ/√an 」ということになります。

「何の」標準偏差か、ということをきちんと見定めないと、頓珍漢なものを計算することになりかねません。

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2017/11/07 00:06

一つの母集団を分割すれば、当然ながら基準となる平均値がばらつきます。

しかしながら、その個々集団が平たんになることはありません。
ご自身で、正規分布となる母集団(データー)を手に入れて、無作為抽出でいくつかに分けて試してみて下さい。
意図した分割や、分割数が大きい(データー数が少ない)と、当然偏りは出てきます。