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電磁気学の電位の問題で、このような問題がありました。半径a（m）の無限長円柱導体電極、内半径b（m

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質問者：ふろふろ
質問日時：2017/11/07 07:00
回答数：2件

電磁気学の電位の問題で、このような問題がありました。
半径a（m）の無限長円柱導体電極、内半径b（m）、外半径c（m）の同心円筒導体電極がある。円柱導体電極には、単位長さあたりq（C/m）、円筒導体電極には単位長さあたり-q（C/m）の電荷を与えた。円柱電極からの距離をrとするとき、r=a,b,c,0地点の電位を求めよ。（a<b<cとする。）
これはV=q/2πε0r（V）のrにそのまま当てはめて良いのかどうかが少しわかりません。（0はおそらくV=0?）ご教授お願いします。

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： yhr2
回答日時：2017/11/07 09:57

条件が不明確ですが、「円柱」と「円筒」は同心状態で配置されて、断面は「同心円」になっているのですよね？

「円柱電極からの距離をrとするとき」と書かれているのも、おそらく「円柱電極『の中心』からの距離をrとするとき」ですよね？

そもそも、電荷がどこにどのように帯電しているか分かりますか？　まずはそれが基本で、あとはその「電荷の存在」に対してガウスの法則を適用すればよいだけです。

電荷の分布は、
・円柱導体電極には、その「表面」に均一に分布する。（円柱内部には電荷は存在しない、従って導体内部には電場は存在しない）
・円筒導体電極にも、その「内側と外側表面」に均一に分布する。（円筒内部には電荷は存在しない、従って導体内部には電場は存在しない）
ということになります。
これが分からないと、ガウスの法則も適用できませんから。

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No.1

回答者： tknakamuri
回答日時：2017/11/07 08:49

その公式を導いたガウスの法則に戻って考えるのが正攻法です。

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　よって、ガウスの法則より、E=0(r<R)、σR/εr(r >R)

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---------------------------
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---------------------------
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無限に広がる電荷からN倍の距離離れた場合、寄与する電荷量は三平方の定理からN倍に大きくなります。
（r=(x^2+y~2+d^2)^1/2でdをN倍に増やすと、xとyの変化によってrはあまり変化しないことから言えることです。）
また、ガウスの法則では「無限に広がる場合、対称性から電場の広がる方向が限定され、放射が球面状ではなく円状に行われる」という解釈をしています。
いずれもE=1/rの発散を導くことはできますが、素直に後者の方で解釈するといいでしょう。

問題は、その後です。∫で考えると難しいのでΣで考えましょう。
E=Σ(1/r)は無限に発散します。これは、次のように考えることができます。
E=Σ(1/r)=1+(1/2+1/3+・・・+1/10)+(1/11+1/12+・・・+1/100)
E>1+(1/10+1/10+・・・)+(1/100+1/100+・・・+1/100)=1+9/10+90/100+900/1000+・・・=1+9/10+9/10+9/10+・・・→∞
∫1/r=lonN→∞はこのような解釈をすることができます。
物理的には、これはどこまで離れた距離dからでも、さらに9d遠ざかると一定の位置エネルギー(log9)が獲得できることとして解釈できます。
これは恐ろしいことです。
もし重力が1/rでしか発散しないならば、どこまで行っても一定の間隔でエネルギーを失い続け、いつかは地球に落ちてくることになります。
もし、rの一乗より多く比例していれば、距離dからlog9のエネルギーを失うまでに9*(d^(n-1))倍、つまり無限倍の距離をとらなければならなくなり、裏を返すと脱出可能となります。無限でのポテンシャルが有限になることで、やっと脱出速度という概念が生まれるのです。

このように、ポテンシャル無限は「どんなに大きな運動エネルギーでも脱出できない」もしくは「どこまで離れても加速し続ける」ことを示唆していると考えると良いでしょう。
普通に物理の問題で「だめだこの問題、解が発散する」なんて考えるよりは、よほどセンスが磨かれる良い思考だと思いますよ。

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E=q/4πr^2ε_0

ここで電位を求める場合の方法ですが境界の値と計算方...続きを読む

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考え方も計算も、ほぼオッケーですよ。
(1)のときの電位ですが
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真ん中の(b→a)の積分のときは、上で書かれているように E=0 なので
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ですから
V=(q/4πε0)( (1/b) - (1/∞) + (1/r) - (1/a) )
になりますね。

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あるいは別の場所に間違いがあるのでしょうか。教えてください。

Aベストアンサー

具体的に書かれていませんが，rot B の計算に誤りがあるのではないかと思います．
また，どういう面と閉曲線でストークスの定理を調べるのかを明確にしないといけません．

磁束密度 B はベクトルですので (→B) と書くことにして，
r, θ，z 成分表示で
(1)　　(→B) = (B_r，B_θ，B_z)
とします．
今の(→B)は同心円状ですから
(2)　　B_r = 0
(3)　　B_θ = μIr/2πa^2
(4)　　B_z = 0
です．
ただし，0≦r≦a です(円柱内部)．

円柱座標での rot は
(5)　　{rot(→B)}_r = (1/r){∂B_z/∂θ - ∂B_θ/∂z}
(6)　　{rot(→B)}_θ = {∂B_r/∂z - ∂B_z/∂r}
(7)　　{rot(→B)}_z = (1/r){∂(rB_θ)/∂r - ∂B_r/∂θ}
ですから，これに(2)～(4)を代入して計算すると
(8)　　{rot(→B)}_r = 0
(9)　　{rot(→B)}_θ= 0
(10)　　{rot(→B)}_z = μI/πa^2
になります．
面積分の S を円柱軸に垂直で円柱軸を中心とする半径 r (0≦r≦a)の円内部，
線積分の C をその縁とします．
線積分は
(11)　　∫_C (→B)・d(→l) = ∫_C B_θ dl = μIr^2/a^2
面積分は
(12)　　∫_S rot(→B)・d(→S) = ∫_S {rot(→B)}_z・dS_z = μIr^2/a^2
で，両者はめでたく等しくなります．
Ir^2/a^2 は半径 r の円の内部を流れる電流に他なりません．
質問者さんが計算しようとしたのは r = a の場合ですね．

誤りの原因ですが，
質問者さんは rot(→B) の計算を ∂B_θ/∂r としてしまったのではないでしょうか．

また
> 類似のテキストでは電流密度Jを出すのにJ＝I/2πa^2としていたためそう思いました。
は何かの間違いのように思えます．
半径 a の円柱の内部を一様に電流が流れていれば，電流密度は明らかに I/πa^2 です．

なお，この話を直線電流でやろうとすると r=0 で特異性が出るため少し面倒になります．

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ここに電荷 e (<0) の電子を置けば、円筒中心向きのクーロン力は
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一方、周速度 v で円運動する電子の遠心力は
　Fk = mv^2 /r

この２つがつり合って円運動を継続するとき、両者はつり合うので
　Fc = Fk
より
　eλ/2パイε0r = mv^2 /r
これより
　v^2 = eλ/2パイε0m
よって、v>0 なので
　v = √(eλ/2パイε0m)

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図がないとわかりにくいので説明対応できるか不明ですが。

円筒の長さＬの部分を考えます。
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すると、円周方向の対称性からＥは円筒面上の何処でも一定ですから２πｒＥ＝ｑ/ε．
内径をr1、外径をr2としてＥを半径方向に積分すれば電位差Ｖが求まります。
Ｖ＝∫(r1～r2)(Ｅdr)　これからＶはr1,r2,q,εからなる式になります。

そうすれば、未知数はｑだけなので求まります。
導体表面の電荷密度σは
σ＝ｑ／（２πｒ）[C/m2]
となります。すなわち内径と外径では電荷密度は異なります。

なお、特に指示がなければεは真空中の誘電率でよいはずです。

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そこは目をつぶります．
そもそも，無限に長い...続きを読む

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