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電磁気学の電位の問題で、このような問題がありました。
半径a(m)の無限長円柱導体電極、内半径b(m)、外半径c(m)の同心円筒導体電極がある。円柱導体電極には、単位長さあたりq(C/m)、円筒導体電極には単位長さあたり-q(C/m)の電荷を与えた。円柱電極からの距離をrとするとき、r=a,b,c,0地点の電位を求めよ。(a<b<cとする。)
これはV=q/2πε0r(V)のrにそのまま当てはめて良いのかどうかが少しわかりません。(0はおそらくV=0?)ご教授お願いします。

A 回答 (2件)

条件が不明確ですが、「円柱」と「円筒」は同心状態で配置されて、断面は「同心円」になっているのですよね?



「円柱電極からの距離をrとするとき」と書かれているのも、おそらく「円柱電極『の中心』からの距離をrとするとき」ですよね?

そもそも、電荷がどこにどのように帯電しているか分かりますか? まずはそれが基本で、あとはその「電荷の存在」に対してガウスの法則を適用すればよいだけです。

電荷の分布は、
・円柱導体電極には、その「表面」に均一に分布する。(円柱内部には電荷は存在しない、従って導体内部には電場は存在しない)
・円筒導体電極にも、その「内側と外側表面」に均一に分布する。(円筒内部には電荷は存在しない、従って導体内部には電場は存在しない)
ということになります。
これが分からないと、ガウスの法則も適用できませんから。
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その公式を導いたガウスの法則に戻って考えるのが正攻法です。

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Q無限に長い円筒の側面上に電荷が一様な面密度

半径Rの無限に長い円筒の側面上に電荷が一様な面密度σで分布しているとき、ガウスの法則を用いて生じた電場を求めよ。

以下参考書の解説
 閉曲面Sとして、電荷の分布する円筒と同軸の半径r、長さLの円筒面を選ぶ。Sについての電場Eの面積分はE2πrL
 Sの内部に含まれる電荷はr<Rのとき0、r >Rのときσ2πRL
 よって、ガウスの法則より、E=0(r<R)、σR/εr(r >R)

なぜ、Sの内部に含まれる電荷はr >Rのときσ2πRLなんですか?
なぜ、E=σR/εr(r >R)なんですか?

詳しい解説お願いします。

Aベストアンサー

>Sの内部に含まれる電荷はr >Rのときσ2πRLなんですか?

問題の定義どおりです。

面密度 x 円筒の表面積 = σ x 2πRL

>なぜ、E=σR/εr(r >R)なんですか?

ガウスの法則から

電場=電荷量/(ε局面Sの側面積) = σ x 2πRL/(ε2πrL)=σR/(εr)

Q電場と電位

無限の長さ、半径Rの円筒の表面に一様な電荷密度σで電荷が分布しています。
[1]周囲の電場Eを円筒の中心軸からの距離rの関数として求めなさい。
[2]周囲の電位φ(r)を求めなさい。

このような問題なんですけど、電場が間違えているのか、電位が無限大になってしまって…困ってます。
よろしくお願いします!!

Aベストアンサー

今日、手を怪我したため、式の検討が出来ません。
あまり文字も打てません。
ごめんなさい。

---------------------------
電位を求める積分で
(i)r<Rのとき
Φ(r)=0
となっているんですが、これは外側表面の電位を基準(Φ(R)=0)にしているからなんでしょうか?
---------------------------
「円柱内部は(電界がゼロなので)電位も一定だ」と言っている式のようです。
http://www-d.ige.solan.chubu.ac.jp/goto/docs/djk1/p7-1b.ssi
そして、電位φは、本来どこを基準(0)にしてもよいですが、
円柱内部(の全体)をφ=0にしています。

すみませんが、これにて。

Q電荷が球殻内に一様に分布する問題について

「 内半径a,外半径bの球殻(aくb)があり,球殻の中心からの距離rとする.電荷Qが球殻部分(aくrくb)に一様に分布しているとき,電界と電位を求めよ.また,rくa,bくrは真空として真空の誘電率をε0する.」
という問題です.
この問題は試験問題だったため回答がないので,一応参考書などを読んで似たような問題を見たりしたのですが,今一つ理解できません.
もしよろしかったら,どなたか教えていただけないでしょうか?
よろしくお願いします.

Aベストアンサー

hikamiuさんが既にお答えされていますので、以下は具体的な計算のやり方についての話です。計算のやり方は大学の先生のご好意による講義ノート(参考URL)が公開されていますので、そこの7の6を参照してみてください。もっともその前に講義ノートの6の5で少し計算の地ならしをしてから進まれたほうが理解が速いかもしれません。

参考URL:http://www-d.ige.solan.chubu.ac.jp/goto/docs/djk1/p0idxA.ssi

Q円柱導体の表面の電位について

たびたび質問してしまいすみません。
問題を解いていて疑問に思ったことがあるので質問させてください。

半径a、長さ無限大の円柱導体に、単位長さ当たりλの電荷を与える。
このとき、導体表面の電位は何か?

これを解く方針としては、
ガウスの定理より、導体の中心からの距離をrとして、a≦rでの電界は、

E=λ/2πεr

これを[∞,a]の範囲で積分する。

V=-λ/2πε∫dr/r
 =K(ln∞/a)  K=λ/2πε  ε:真空の誘電率とします。
=∞

となってしまいます。
何か変なんでしょうが、何が変なのかが全くわかりません。
どうやって解けばいいのでしょうか?
ご教示願います。

Aベストアンサー

次元が異なるとなぜa→∞で電位が有限になるか、でしたね。
良い着眼点を持ってると思いますよ。
とはいえ、この質問に対して十分納得できる回答は、
私には持ち合わせていません。

これについては、最終的に自分の見解を持って自得するしかないと思います。(数式上ではそうなることが分かっているので、それをどう捉えるかは物理のセンスとなります。)

まずは前半。E=1/rについてですね。一つの見解では、やはり「無限に広がる電荷」という事項がミソになっていると考えることができます。
無限に広がる電荷からN倍の距離離れた場合、寄与する電荷量は三平方の定理からN倍に大きくなります。
(r=(x^2+y~2+d^2)^1/2でdをN倍に増やすと、xとyの変化によってrはあまり変化しないことから言えることです。)
また、ガウスの法則では「無限に広がる場合、対称性から電場の広がる方向が限定され、放射が球面状ではなく円状に行われる」という解釈をしています。
いずれもE=1/rの発散を導くことはできますが、素直に後者の方で解釈するといいでしょう。

問題は、その後です。∫で考えると難しいのでΣで考えましょう。
E=Σ(1/r)は無限に発散します。これは、次のように考えることができます。
E=Σ(1/r)=1+(1/2+1/3+・・・+1/10)+(1/11+1/12+・・・+1/100)
E>1+(1/10+1/10+・・・)+(1/100+1/100+・・・+1/100)=1+9/10+90/100+900/1000+・・・=1+9/10+9/10+9/10+・・・→∞
∫1/r=lonN→∞はこのような解釈をすることができます。
物理的には、これはどこまで離れた距離dからでも、さらに9d遠ざかると一定の位置エネルギー(log9)が獲得できることとして解釈できます。
これは恐ろしいことです。
もし重力が1/rでしか発散しないならば、どこまで行っても一定の間隔でエネルギーを失い続け、いつかは地球に落ちてくることになります。
もし、rの一乗より多く比例していれば、距離dからlog9のエネルギーを失うまでに9*(d^(n-1))倍、つまり無限倍の距離をとらなければならなくなり、裏を返すと脱出可能となります。無限でのポテンシャルが有限になることで、やっと脱出速度という概念が生まれるのです。

このように、ポテンシャル無限は「どんなに大きな運動エネルギーでも脱出できない」もしくは「どこまで離れても加速し続ける」ことを示唆していると考えると良いでしょう。
普通に物理の問題で「だめだこの問題、解が発散する」なんて考えるよりは、よほどセンスが磨かれる良い思考だと思いますよ。

次元が異なるとなぜa→∞で電位が有限になるか、でしたね。
良い着眼点を持ってると思いますよ。
とはいえ、この質問に対して十分納得できる回答は、
私には持ち合わせていません。

これについては、最終的に自分の見解を持って自得するしかないと思います。(数式上ではそうなることが分かっているので、それをどう捉えるかは物理のセンスとなります。)

まずは前半。E=1/rについてですね。一つの見解では、やはり「無限に広がる電荷」という事項がミソになっていると考えることができます。
無限に広が...続きを読む

Q導体球殻の電位

内半径a 外半径b の導体球殻の中心に電気量q(>0)の点電荷を置くとき
各点における電位の分布を求めよ。無限遠方をV=0とする。

という問題で

まず、ガウスの法則を用いて電場をもとめて、そこから距離の積分をしてVを求めようとしました。


まず、境界は次の三つであっていますでしょうか。

(1)0<r<aの時(2)a≦r<b(3)B≦r

そして各場合の電場は

(1)の時、∫ε_0EdS=q より
E= q/4πr^2ε_0
(2)の時、
導体の内部なので電場E=0
(3)の時∫ε_0Eds=q
E=q/4πr^2ε_0

ここで電位を求める場合の方法ですが境界の値と計算方法に自信がありません。

(3)の時、

V=-∫(∞→r)E・dr = (q/4πε_0)・(1/r)

(2)の時、
V=-∫(∞→b)E・dr -∫(b→r)0・dr = (q/4πε_0)・(1/b)

(1)の時、

V= -∫(∞→b)E・dr -∫(b→a)E・dr - ∫(a→r)E・dr = (q/4πε_0)(1/r)

(1)の答えが解答では(q/4πε_0)(1/r)
ではなく
(q/4πε_0)((1/b)+(1/r)-(1/a))
となっていました。

なぜなのでしょうか。

ご教授お願い申し上げます。

内半径a 外半径b の導体球殻の中心に電気量q(>0)の点電荷を置くとき
各点における電位の分布を求めよ。無限遠方をV=0とする。

という問題で

まず、ガウスの法則を用いて電場をもとめて、そこから距離の積分をしてVを求めようとしました。


まず、境界は次の三つであっていますでしょうか。

(1)0<r<aの時(2)a≦r<b(3)B≦r

そして各場合の電場は

(1)の時、∫ε_0EdS=q より
E= q/4πr^2ε_0
(2)の時、
導体の内部なので電場E=0
(3)の時∫ε_0Eds=q
E=q/4πr^2ε_0

ここで電位を求める場合の方法ですが境界の値と計算方...続きを読む

Aベストアンサー

考え方も計算も、ほぼオッケーですよ。
(1)のときの電位ですが
V= -∫(∞→b)E・dr -∫(b→a)E・dr - ∫(a→r)E・dr = (q/4πε_0)(1/r)

真ん中の(b→a)の積分のときは、上で書かれているように E=0 なので
積分も0です。
ですから
V=(q/4πε0)( (1/b) - (1/∞) + (1/r) - (1/a) )
になりますね。

Qガウスの法則で電界の大きさを求める

「半径aの断面をもつ無限に長い円筒表面上に、電荷が面密度ωで一様に分布している。中心軸からの距離がrでの電界の大きさE(r)をガウスの法則を用いて求めよ。」

という問題です。
以前に、電荷が円筒表面ではなく軸上に分布しているケースの問題を解いたことがあり、その類題だとは思うのですが…。

一応、(i)r<a (ii)r>a で場合分けをし、(i)は軸対称からいってE(r)=0でしょうが、(ii)がわかりません。
どなたか教えてください。

Aベストアンサー

>軸上に分布しているケースの問題を解いたことがあり

ということなら、r>a のところではそれと同じでしょう。

 円筒の軸を中心とし、半径r、高さ1の円柱面を考え、その面を貫く電気力線の密度を考えればいいわけです。「円筒表面上に、電荷が面密度ωで一様に分布している」のですから、今考えている円柱の内部にある電荷は、高さ1の円筒表面にある電荷ですから、2πaω になりますね。

Q電磁気の無限長導体

電磁気の問題で行き詰まってます。
無限に長い半径aの円筒導体を一様な定常電流が流れていると設定されていて、全電流がIです。
中心から同心円の閉曲線C(半径r<a)で磁束密度B=μIr/2πa^2は既に出ています。
このBを使ってストークスの定理が成立することを示したいのですが、線積分側(インテグラルB・dl)はμIになったのに面積分側(インテグラル(rotB・dS))がμI/2になって両辺一致しません。
類似のテキストを見るとおそらく両辺μIになるはずで、面積分側インテグラルdSがπa^2ではなく2πa^2になるのではないかと思います。
類似のテキストでは電流密度Jを出すのにJ=I/2πa^2としていたためそう思いました。
しかし閉曲線C内の面積は当然円の面積ですのでπa^2だと思うんですが、この係数2はどこから来たのでしょう?
あるいは別の場所に間違いがあるのでしょうか。教えてください。

Aベストアンサー

具体的に書かれていませんが,rot B の計算に誤りがあるのではないかと思います.
また,どういう面と閉曲線でストークスの定理を調べるのかを明確にしないといけません.

磁束密度 B はベクトルですので (→B) と書くことにして,
r, θ,z 成分表示で
(1)  (→B) = (B_r,B_θ,B_z)
とします.
今の(→B)は同心円状ですから
(2)  B_r = 0
(3)  B_θ = μIr/2πa^2
(4)  B_z = 0
です.
ただし,0≦r≦a です(円柱内部).

円柱座標での rot は
(5)  {rot(→B)}_r = (1/r){∂B_z/∂θ - ∂B_θ/∂z}
(6)  {rot(→B)}_θ = {∂B_r/∂z - ∂B_z/∂r}
(7)  {rot(→B)}_z = (1/r){∂(rB_θ)/∂r - ∂B_r/∂θ}
ですから,これに(2)~(4)を代入して計算すると
(8)  {rot(→B)}_r = 0
(9)  {rot(→B)}_θ= 0
(10)  {rot(→B)}_z = μI/πa^2
になります.
面積分の S を円柱軸に垂直で円柱軸を中心とする半径 r (0≦r≦a)の円内部,
線積分の C をその縁とします.
線積分は
(11)  ∫_C (→B)・d(→l) = ∫_C B_θ dl = μIr^2/a^2
面積分は
(12)  ∫_S rot(→B)・d(→S) = ∫_S {rot(→B)}_z・dS_z = μIr^2/a^2
で,両者はめでたく等しくなります.
Ir^2/a^2 は半径 r の円の内部を流れる電流に他なりません.
質問者さんが計算しようとしたのは r = a の場合ですね.

誤りの原因ですが,
質問者さんは rot(→B) の計算を ∂B_θ/∂r としてしまったのではないでしょうか.

また
> 類似のテキストでは電流密度Jを出すのにJ=I/2πa^2としていたためそう思いました。
は何かの間違いのように思えます.
半径 a の円柱の内部を一様に電流が流れていれば,電流密度は明らかに I/πa^2 です.

なお,この話を直線電流でやろうとすると r=0 で特異性が出るため少し面倒になります.

具体的に書かれていませんが,rot B の計算に誤りがあるのではないかと思います.
また,どういう面と閉曲線でストークスの定理を調べるのかを明確にしないといけません.

磁束密度 B はベクトルですので (→B) と書くことにして,
r, θ,z 成分表示で
(1)  (→B) = (B_r,B_θ,B_z)
とします.
今の(→B)は同心円状ですから
(2)  B_r = 0
(3)  B_θ = μIr/2πa^2
(4)  B_z = 0
です.
ただし,0≦r≦a です(円柱内部).

円柱座標での rot は
(5)  {rot(→B)}_r = (1/r){∂B_z/∂θ - ∂B_θ/∂z}
(6)  {rot(→B)}...続きを読む

Q物理の問題について質問です 問題 内、外半径a,bの同軸無限円筒導体があり、内部導体に単位長さあたり

物理の問題について質問です

問題
内、外半径a,bの同軸無限円筒導体があり、内部導体に単位長さあたりλの正電荷を与えたとき、半径rの点(a<r<b)の電界を求めよ。また、この点で電子を円周方向に円運動させるのに必要な初速度を求めよ。ただし、電子の質量はmとし、重力その他の乱調の影響は無視するものとする。

解答
E=λ/2πε0r
v=√(eλ/2πε0m)

途中式と解説よろしくお願いします。

Aベストアンサー

一体、どこが分からないのですか? 電束密度なり電界は「ガウスの定理」から求まりますし、円運動の向心力(遠心力)は力学の基本です。
解説も何も「基本通り」です。

半径 r (a<r<b) の単位長さの円筒閉曲面を考えれば、ガウスの定理より
 2パイr*D = λ
D = ε0*E を使って
 E = λ/2パイε0r

ここに電荷 e (<0) の電子を置けば、円筒中心向きのクーロン力は
 Fc = eE = eλ/2パイε0r

一方、周速度 v で円運動する電子の遠心力は
 Fk = mv^2 /r

この2つがつり合って円運動を継続するとき、両者はつり合うので
 Fc = Fk
より
 eλ/2パイε0r = mv^2 /r
これより
 v^2 = eλ/2パイε0m
よって、v>0 なので
 v = √(eλ/2パイε0m)

Q円筒の電荷密度

半径5cmおよび10cmをそれぞれ内径・外径とする同心円筒があり、円筒間の電位差は100Vです。
そのときのそれぞれの導体表面の電荷密度の求め方がわかりません。
まず最初に何をすればいいのかということもまったくわからないのでヒントだけでもよろしくお願いします。

Aベストアンサー

図がないとわかりにくいので説明対応できるか不明ですが。

円筒の長さLの部分を考えます。
∫EdS=Q/ε から円筒の長さ方向には対称ですから
dS=Lds, Q=Lq。 dsは円筒の周長に沿う微少長さで、qは単位長あたりの電荷密度(C/m)になります。

すると、円周方向の対称性からEは円筒面上の何処でも一定ですから2πrE=q/ε.
内径をr1、外径をr2としてEを半径方向に積分すれば電位差Vが求まります。
V=∫(r1~r2)(Edr) これからVはr1,r2,q,εからなる式になります。

そうすれば、未知数はqだけなので求まります。
導体表面の電荷密度σは
σ=q/(2πr)[C/m2]
となります。すなわち内径と外径では電荷密度は異なります。

なお、特に指示がなければεは真空中の誘電率でよいはずです。

Qある電磁気、電流密度についての問題。

半径a,bの金属製の円筒を2つ用意し、中心軸が一致するように置く。2つの円筒間を電気伝導率σの一様な導体で満たし、両極間に電位差Vを与えた時、電流密度iを求めよ。

といいう問題があるのですが。電位差Vを与えた時点で、ある決められた量の電荷は円筒に帯電している、、のですよね?そうすると、そもそも電流は流れてないんじゃないか?と思うのですが、おかしいでしょうか?

解答では、電流密度の定義から
i=σE
とおいて計算しているのですが…。

よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

電位差を与える方法としては次の2つが考えられます.

(1) 2つの円筒を導線でつなぎ(問題に書かれている「電気伝導率σの一様な導体」とは別物),
途中に電池を入れる.
こうすると,電池-導線-内側円筒-電気伝導率σの一様な導体-外側円筒-導線-電池
という回路ができますから,定常電流が流れます.
この問題は円筒対称性を使って解くという設定でしょうから,
厳密に言うと2つの円筒を導線でつなぐというのは円筒対称性を破ることになりますが,
そこは目をつぶります.
そもそも,無限に長い円筒じゃないと円筒対称性を満たさないし...

(2) (1)の導線でつなぐのはやめて,例えば内側の円筒に電荷(正電荷としましょう)を与えておく.
当然,内側の円筒と外側の円筒の間には電位差があります.
電流は内側から外側に向かって流れますが,
それに伴い,内側の円筒の電荷は減り,その分外側の円筒に電荷が貯まります.
電位差は時間と共に減少し,電流も同じく減少します.
最終的に電位差がなくなると電流は流れなくなってしまいます.

(1)は定常電流タイプ,(2)はコンデンサー放電タイプ,ですね.
問題で,単に「電流密度iを求めよ」と書いているところを見ると,
(1)の想定しているのでしょうかね.
(2)だったら,電流の時間変化など問題にしたいところです.

電位差を与える方法としては次の2つが考えられます.

(1) 2つの円筒を導線でつなぎ(問題に書かれている「電気伝導率σの一様な導体」とは別物),
途中に電池を入れる.
こうすると,電池-導線-内側円筒-電気伝導率σの一様な導体-外側円筒-導線-電池
という回路ができますから,定常電流が流れます.
この問題は円筒対称性を使って解くという設定でしょうから,
厳密に言うと2つの円筒を導線でつなぐというのは円筒対称性を破ることになりますが,
そこは目をつぶります.
そもそも,無限に長い...続きを読む


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