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オイラーの定数(lim[n→∞] H(n)-logn)が0.5以上であることをどうやったら示せるか教えてください


収束することは導けました。
グラフ見たら何となくさにあたる部分は1/2を超えるんだろうなとは思えるけどどう証明したらいいのかわかりません。

A 回答 (2件)

準備1


積分範囲 k<x<k+1で
∫(1/x^2)dx = [-1/x] = 1/k - 1/(k+1)
∴1/k = 1/(k+1) + ∫(1/x^2)dx ①

準備2
ln(n) = ∫(1/x)dx ,{1<x<n}
=Σ∫(1/x)dx ,{k<x<k+1},{k<=n} ②
kは自然数

で、、、
F(n) = Σ1/k-ln(n)
に①と②を代入
F(n)
= Σ(
1/(k+1)
+ ∫ ( (1/x^2) - (1/x) )dx
)
積分範囲は{k<x<k+1}
Σのなかの積分の項
∫( (1/x^2) - (1/x) )dx
= ∫( (x-1)/x^2 )dx
は、k>=1で常に正
一方 F(1) = 1/2 なので
F(n)>1/2

途中積分の範囲をはしょったので、わかりにくくてすいません。
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積分を使うのが簡単だと思う.

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