三角関数の応用で困っています。 0≦x＜2πの範囲で （sinx−1）（2sinx＋1）＝0 がどう

三角関数の応用で困っています。
0≦x＜2πの範囲で
（sinx−1）（2sinx＋1）＝0
がどうしても解けません。
何とか答えのx＝π/2 , 7π/6 , 11π/6
までは出しましたが一般解がどうして
x＝π/2＋2nπ , −π/6＋2nπ , 7π/6＋2nπ
になるのかが全くわかりません。
教えてください、よろしくお願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/11/11 18:04

nを抜かしたのでもう1回書きます。

>>11π/6＋2nπとしてはいけない理由

sinx=-1/2を解くと、解が2個出ます。
x=7π/6、11π/6です。
一般解はこれに2nπを加えれば良いので、
x=7π/6+2nπ、11π/6+2nπ、で問題は有りません。
これでも正解です。

シンプルを良しとする数学では、格好良くする方法も有ると言うことです。

x=7π/6+2nπ、11π/6+2nπを式1個で書くと
x=n･π-(-1)ⁿ･π/6と書けます。

このnに1,2,3,4・・・・を代入すると
7π/6、11π/6、19π/6、23π/6・・・・・となり、エレガントですね。

この回答へのお礼

こんばんは。
親切に、ありがとうございます。
11π/6＋2nπでも問題ないのですね。
問題集の答えには書かれていなかったので、不安になりました。
とても理解しやすく、私の知りたいことを教えていただけて助かりました。
格好良く書く方法はまだあまり理解していませんが、わかるまで何度も考えてみようと思います。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2017/11/12 00:36

No.5 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/11/11 18:01

>>11π/6＋2nπとしてはいけない理由

sinx=-1/2を解くと、解が2個出ます。
x=7π/6、11π/6です。
一般解はこれに2πを加えれば良いので、
x=7π/6+2π、11π/6+2π、で問題は有りません。
これでも正解です。

シンプルを良しとする数学では、格好良くする方法も有ると言うことです。

x=7π/6+2π、11π/6+2πを式1個で書くと
x=n･π-(-1)ⁿ･π/6と書けます。

このnに1,2,3,4・・・・を代入すると
7π/6、11π/6、19π/6、23π/6・・・・・となり、エレガントですね。

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/11/11 16:32

(sinx-1)(2sinx+1)＝0

sinx-1=0、または、2sinx+1=0でしょう？

●sinx-1=0
sinx=1だから0≦x<2πの範囲では、x=π/2

●2sinx+1=0
sinx=-1/2だから0≦x<2πの範囲では、x=7π/6、11π/6

一般解は、上の解へ左回りに360°足しても同じ。
11π/6は-π/6と同じ位置だから、11π/6＋2nπも-π/6＋2nπも同じです。

下図は半径1の円で、赤がsinxの値。

この回答へのお礼

大変わかりやすくありがとうございます。
恥ずかしながらやっと理解致しました。
ところで、
他の二つとは違い11π/6＋2nπとしてはいけない理由はなぜなのでしょうか。
そこがモヤモヤとしております。

お礼日時：2017/11/11 16:42

No.3 回答者： mabuterol 回答日時： 2017/11/11 16:05

deg は degree で度

90 deg = 90 度 = 直角

180 度は直線。180 度を pi ラジアンと呼ぶ。
習ったよね？

この回答へのお礼

返信ありがとうございます。
すみません、私、数学の授業とってなくて…
独学でやっているのでわからなくて質問したのです。
申し訳ありません。

ところで、答えを使って一般解を出すことはわかったのですが、それがどうして11π/6だけ −πのものになるのかがわからないのでそこを中心に教えていただけたらとても嬉しいのですが…

お礼日時：2017/11/11 16:09

No.2 回答者： mabuterol 回答日時： 2017/11/11 15:52

このサイトを見れば分かる通り、

http://examist.jp/mathematics/trigonometric/youso/

三角関数は、sinΘ とsin(Θ+360deg) が同じ値になります。

1 = cos(0deg) = cos(360deg) = cos(720deg) = ,,,

これを書き換えると cos (a) = 1 ただし a = n * 360deg, n は整数（正負と零も当然に含む）、となりますね。
360deg = 2 pi [radian] ですから n * 360deg = n * (2 pi [radian])

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ですがやっぱり私にはわかりません。
私の理解力が足りないのと、数学が苦手なのでそもそもdegがなにを表すのかわからないです…
piとかどこから来たのかすらわかりませんでした。
せっかく答えてくださったのにごめんなさい…

お礼日時：2017/11/11 15:59

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2017/11/11 15:17

三角関数は周期関数なので、sin(30deg) = sin(390deg) = sin(-330deg) = ,,,

この回答へのお礼

ごめんなさい、
全然わからないので初心者にもわかりやすく教えていただけると助かります

お礼日時：2017/11/11 15:43