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鉛直ばね振り子についてです。
「小球がつりあいの位置で静止している時のばねの伸びをx0〔m〕、ばねの弾性力を-kx0〔N〕、重力をmg〔N〕とする。ばねの弾性力と重力がつりあっている時次の式が成り立つ。-kx+mg=0」と書いてあるのですがこの式がなぜ成り立つのかわかりません。
-kx= mgという式では成り立たないのですか?
教えてください!お願いします!

A 回答 (2件)

>次の式が成り立つ。

-kx+mg=0

は「次の式が成り立つ。-k*x0 + mg = 0」ですね?

ここでは、k>0, x0>0, m>0, g>0 として、下向き(重力の方向)を「正」としているということです。
ばねが「伸びる」方向が重力の方向なので、x0>0 です。

力は「ベクトル」で、「大きさ」と「方向」を持ちます。
重力は「下向き」、ばねの弾性力は「上向き」で、「方向」を「正負」と考えると「重力は正、ばねの弾性力は負」になって、つり合いは「合成した力がゼロ」ということなので
  -k*x0 + mg = 0  ①
になります。「つりあい」を「逆向きの力の大きさが等しい」ということなら
  k*x0 = mg  ②
です。
①②は同じことを表わす式なので、同じ式になります。

もし、ばねを「吊り下げる」のではなく、「床の上に置いて」おもりで「縮む」方向でつり合っているときには、ばねが縮む方向が重力と同じ方向で「正」になるので、縮んだ長さが x0>0 となります。この場合にも重力は「下向き」、ばねの弾性力は「上向き」なので、つりあいの式は
  -k*x0 + mg = 0 または k*x0 = mg
になります。

「方向」という考え方が大事で、しかも必ず「どちらを正とするか」をきっちり決めて「正負」を論じる必要があります。
もし「上向きを正とする」とするなら、ばねの弾性力は上向きで「正」、重力は下向きで「負」になりますから、式は
  kx0 - mg = 0
と書かれます。   ③
同じ現象を表わしているので、結局は①②と同じ式になるのです。

>-kx= mgという式では成り立たないのですか?

この場合には、k>0, m>0, g>0 ですから、x<0 ということになり、「ばねは重力と逆方向に変位している(天井からつっている場合には「縮んでいる」ということ)」になります。もし「ばねが縮んでつり合っている」というならこの式になりますが、問題の場合にはそうではないですよね。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2017/11/20 17:14

運動方程式から-kx+mg=0が求まります



運動方程式を書いてみると

ma=(小球にかかる力)

と書けます

今回小球にかかる力はバネの弾性力-kxと重力mgなので

ma=-kx+mg

またこの時小球は静止しているので加速度はa=0となりますので

-kx+mg=0

となります
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2017/11/20 17:14

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Q単振動の応用問題。

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これはつりあいの位置でしょうが、それはばねの自然長なんでしょうか、それともばねにいたを載せたときのつりあいの位置なんでしょうか?またその理由を教えてください。

Aベストアンサー

#1の方が衝突を問題にしておられます。

>この板に対して、上から小球を落とすと、当然単振動の動きをします。

この表現に不備があるように思います。落とせば衝突が問題になります。くっついて一緒に行くためには反発係数が0でないといけません。0であれば離れません。落下させる高さも問題になります。

表現を変えてみました。
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#3の解答の中に書かれている式を使って違う考察をしてみます。

小球・・・ma = -mg + F
板 ・・・Ma = -ky -Mg -F

Fを消去します。
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y=0(自然長)の時にa=gになります。y>0(自然長よりも上)になるとa<gです。
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自然長の所まで一緒に行きます。その後、物体は重力の加速度gで運動する、板は加速度a=-g-ky/M で運動するということになります。

#1の方が衝突を問題にしておられます。

>この板に対して、上から小球を落とすと、当然単振動の動きをします。

この表現に不備があるように思います。落とせば衝突が問題になります。くっついて一緒に行くためには反発係数が0でないといけません。0であれば離れません。落下させる高さも問題になります。

表現を変えてみました。
バネの先端に板を乗せて固定する。板の上に別の物体を載せる。物体の乗った板を持ち上げて静かに手を離す。物体と板は最下点まで行ってから上昇する。物体が板から離れ...続きを読む

Q二つのバネで引っ張られた物体は単振動する?

なめらかな水平面上で、質量mの物体を
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Aベストアンサー

答えは、|x/d|≪1であれば、とても良い近似で単振動するとして良いのです。

それを証明します。

いま、その質量に働く力が、以下にこれから説明するを満たす、無次元量の変位ξ≡x/d の任意の関数fを使って

(1)    F=f(ξ)

で表されているとします。その条件とは、

(2) f(ξ)はξ=0のところで正則である。

(3) f(0)=0

(4) f'(ξ) ≡ df(ξ)/dξ < 0

更に、

(5)|ξ| = |x/d| ≪1

の場合を考えることにします。

先ず、条件(2)により、f(ξ)はξ=0のまわりでテーラー展開可能であり、

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それを証明します。

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(1)    F=f(ξ)

で表されているとします。その条件とは、

(2) f(ξ)はξ=0のところで正則である。

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Q鉛直ばね振り子の減衰振動の運動方程式について

摩擦のある水平面でばね振り子減衰振動の運動方程式は
m(d^2x/dt^2)=-kx-α(dx/dt) kはばね定数
で与えられると思いますが、鉛直ばね振り子の場合、重力のmgは運動方程式に加えなくてもよいのでしょうか?
それとも
高校のころ、単振動の問題を解くとき、鉛直ばね振り子の場合はx=lを釣り合い位置としてkl=mg k=mg/l がこの場合のkであって、ばね定数とは違う値だ、というようなことを習った記憶があるのですが、この場合のkもそれでしょうか?

Aベストアンサー

実際mgを加えてみてください。ただし,mg=kl として X=x-l と
座標をずらせば,目的の運動方程式を得ます。
運動方程式でこれができるので以下はあたりまえですが,エネルギーに
ついても同様のあつかい(つりあい位置からの変位に書き換えると
重力による位置エネルギーがキャンセルできる)が可能です。

Q高校物理 ばねと運動方程式の関係

高校物理を独学しています。

ばねと運動方程式の関係がよく分かりません。

ma=mg-kx

という運動方程式について、加速度aも、ばねの力kxも、同じ向きになる様に思えますので、なぜ、「-kx」となるのか分かりません。
(ばねが縮んでいく時は、バネの力(kx)は、ばねの縮みの方と逆方向に働き、加速度(a)も、速度が遅くなっていくので、ばねの縮みと逆方向に力が働くと思えます。)

インターネットで調べていますと、あるページに、
「ばねの伸び方向にx軸をとると、まずばねが伸びているときには、質点にはx軸の負の方向にちからがはたらきます。符号まで含めると-kxです。次に、ばねが縮んでいるときには今の力はx軸正方向にはたらきますが、このときはx座標が負になるので、結局-kxになります。」
とありますが、なぜ、「このときはx座標が負になる」となるのか分かりません。

初学者にも分かりやすい説明をお願いします。

Aベストアンサー

この疑問は高校レベル特有のものです。

本来,加速度というのは変位xの方向を正にとります。すなわち,変位xの時間による2階微分です。
a = d^2x/dt^2

微分に関してはまだ…という場合でも大丈夫。

ともかくx軸をとったのですから,変位も加速度も力もすべてx軸正方向を正にとる約束です。そこでご紹介の運動方程式を見てみると,

ma = mg - kx

これは,mg > 0になるように座標軸をとっていますから,鉛直下向きが正です。自然長位置が原点ですね?

まず,伸びているときは x > 0 。 しかるに弾性力の方向は上向きですから,-kx < 0。
自然長より縮んでいるときは x < 0。 弾性力は下向きで, -kx > 0。
いずれにせよ,-kx が正しい力の方向を示しています。

加速度は,mg と kx の「力関係」で決まりますね?
mg > kx なら,a > 0。つまり重力が勝って(x<0なら弾性力も「手伝って」),加速度は下向き。
mg < kx なら,a < 0。つまり上向き弾性力が勝って,加速度は上向きということになります。

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本来,加速度というのは変位xの方向を正にとります。すなわち,変位xの時間による2階微分です。
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物理の力学の問題について質問です。 問題
:図(a)のように,2本の軽いばねAとBを鉛直方向の上下につなぎ,自然の長さになる位置で上端と下端を固定した。Aのばね定数はBのばね定数の2倍であった。重力加速度の大きさをgとし、空気抵抗はないものとして次の各問いに答えなさい。

(1)AとBのつなぎ目に質量mの小さなおもりをつけたところ、おもりは図(b)のように鉛直下方にdだけ下がった点Oで静止した。Bのばね定数を求めなさい。

解答
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mg=2kd+kd
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(2)次に図(c)のように、おもりを点Oからdだけ鉛直上方に持ち上げた。このときばねとおもりになされた仕事の大きさを求めなさい。

解答
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ばねになされた仕事は、AとBのばねの弾性力による位置エネルギーの変化量の和なので、
(0-2kd^2/2)+(0-kd^2/2)
=-3kd^2/2
=-mgd/2

ここで質問です。
(0-2kd^2/2)+(0-kd^2/2)の式で、マイナスがついています、なぜマイナスがつくのでしょうか?
解説よろしくお願いします。

図は画像添付します。

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解答
:Bのばね定数をKとする。
mg=2kd+kd
∴k=mg/3d

(2)次に図(c)のように、おもりを...続きを読む

Aベストアンサー

位置エネルギーの「差」、つまりバネになされた
仕事を計算しているから。


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