3次関数f(x)がx=1で極小値-5, x=3で極大値-1をとるとき、関数f(x)を求めよ。 という

3次関数f(x)がx=1で極小値-5, x=3で極大値-1をとるとき、関数f(x)を求めよ。
という問題で、解答にはf(x)=ax⁴+bx³+cx²+dとおいて四元一次連立方程式を立てて面倒くさく各文字の値を求めているのです。しかし、友達が積分を利用すると二元一次連立方程式を立ててすぐに計算可能という話を先生から聞いたらしいのですが、そいつはそれを完全に忘れてしまったので解法が分からない…という状況です。うちの高校の上位集団でも分からなかったのですが、誰か分かりますか？
ちなみにまだ不定積分しか学習していないため、その知識のみで解けると思われます。

質問者からの補足コメント

• 失礼。f(x)=ax³+bx²+cx+dでした。

    補足日時：2017/11/22 22:02

No.3 回答者： GBde 回答日時： 2017/11/22 22:54

f(x) = a (x^3/3 - 2 x^2 + 3 x) + c で　極値 KARA a = -3, c = -1.

酷似の問の　↓の解答　は　ヘタ 故　瞬時に解いてみてください.
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/11/22 22:53

f'(x)=3a(x-1)(x-3) だから

f'(x)=3a(x^2-4x+3)

積分すると

f(x)=ax^3-6ax^2+9ax+d
f(1)=4a+d=-5
f(3)=d=-1
なので、a=-1, b=6, c=-9

検算
f(x)=-x^3+6x^2-9x-1
f'(x)=-3x^2+12x^2-9x-1=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)
f(1)=-1+6-9-1=-5
f(3)=-27+54-27-1=-1

No.1 回答者： GBde 回答日時： 2017/11/22 22:20

f(x) = a (x^3/3 - 2 x^2 + 3 x) + c で　極値 KARA a = -3, c = -1.