画像について、α＋β=1になるときいていたのですが、この画像の条件には α＋β≦1となっています。

画像について、α＋β=1になるときいていたのですが、この画像の条件には
α＋β≦1となっています。
このようなことはあり得るのでしょうか？
(直線のベクトルの方程式と混同しているのかもしれません。)
解説をお願いします。

質問者からの補足コメント

• α=1－t、β=t (tは媒介変数)で、α＋βは
  必ず1になるのではないのですか？

    補足日時：2017/11/28 18:39

No.8 回答者： masterkoto 回答日時： 2017/11/29 12:47

no7　修正です。

　終わりの部分
「すなわちOPはOP'上にありOPより短くなります。」　は誤りです
正しくは
「すなわちOPはOP'上にありOP’より短くなります。」です。

そして、付け加えますと
＞α=1－t、β=t (tは媒介変数)で、α＋βは
必ず1になるのではないのですか？
α=1－t、β=tとおけるのは、α＋β＝１のときだけす。
確認してください。

No.7 回答者： masterkoto 回答日時： 2017/11/29 12:21

結論から言えば

＞画像について、α＋β=1になるときいていたのですが、この画像の条件には
α＋β≦1となっています。
このようなことはあり得るのでしょうか？
あります！

＞α=1－t、β=t (tは媒介変数)で、α＋βは
必ず1になるのではないのですか？

α＋β=1になるというより、α＋β=1のとき　画像の式は直線を表す　ということです！

以下は、別のＱ＆Ａでの私の回答です。αβがｓｔになっていますが、先ずは、α＋β=1のときの解説です。②についてを中心に読んでください。

（以下ベクトルの矢印は省略）
「任意の点P、異なる定点A,Bの位置ベクトルをそれぞれｐ,a,b
方向ベクトルをｄ、また、ｓｔを実数の変数とすると、直線のベクトル方程式は
p=a+td・・・①
ｐ=(1-t)a+tb または p=sa+tb,s+t=1・・・②
で表されますね！
①は　ベクトルの足し算を図示すると、先ずベクトルａを書いて矢印の先端はＡに来ます。
次に、ベクトルｔｄを書くのですがこの矢印はＡから出てdに平行で、ｔの値によってその長さが変化します。私の図の左のようにｄｔの矢印の先はＡを通り、Ｄに平行な直線のどこかにくることになり、①はｔを少しずつ変えていくと矢印の先端の軌跡がＡを通り、Ｄに平行な直線になるという事を示しています。

次に②は内分点、外分点の位置ベクトルの公式を思い浮かべてみてください。
Ａ，Ｂをｔ：１－ｔに内分する点の位置ベクトルは公式から、
{(1-t)a+tb}/t+(1-t)で②になりますよね。ｔが1より大きいか、０より小さい時は②は
ＡＢの外分点を示します。
①の場合と同様で、ｔの値を少しずつ変えていくとベクトルの先端の軌跡がＡＢを通る直線になるということをあらわしています。
だから、①も②も”直線を表す”ベクトル方程式とよべるのです。」

→画像の　α＋β=1　に加えて、α、βが０以上の場合、ベクトルＯＰの先端は辺ＡＢ上にきます。その軌跡は辺ＡＢとなります。


では、α＋β<1 の場合は？
私の画像のように式変形します。
(αOA+βOB)/(α＋β)は、αβが正の場合、これは公式でABの内分点を表すので、
これをOP'とすれば、P'は辺AB上のどこかにきます。
さらに、K=α＋βとおけば　OP=KOP'で、α＋β<1からｋ<1です。
すなわちOPはOP'上にありOPより短くなります。
従って、Pは　私の図の右のように△OABの辺の上や内部にきます。（ただし辺AB上にはこない）

このことから２つの場合を１つにまとめて
OP=αOA＋βOB　α＋β≦1　αβ０以上
は三角形OABの周上とその内部をあらわしています＾＾￥

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/11/28 20:49

>α=1－t、β=t (tは媒介変数)で、α＋βは

>必ず1になるのではないのですか？

勿論そうだが、それはΔOAB全体を表さない。
そもそも面積のあるものを表すには、媒介変数は2個必要。

実際t=0とか0.5とか1とかの点を作図してみれば直ぐにわかる。
それは直線上の点しかあらわしません。

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2017/11/28 18:53

α=1－t、β=t (tは媒介変数)で、α＋βは

必ず1になるのではないのですか？

→△OABの線上の点でしたら、α+β=1ですが、
再度記載しますが、△OABの内部の点は、α+β＜1になりますので、
α+β≦1で、△OABの線上及び、その内部となる！

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/11/28 07:40

α+β= 1、α≧0、β≧0は線分AB上の点。

α+ β≦1、α≧0、β≧0 はΔOAB上の点。つまり三角形の輪廓とその内部を
表してます。

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/11/27 21:45

OP→=α*OA→+β*OB→

α+β=1とするとPは直線AB上の点となります。

α+β<1とするとPはOABが作る平面を直線ABで分割した二つの部分のうちOを含む領域内の点となります。
(O,A,Bは同一直線上にはない場合)　直線上の点を含まない。

α=0とすると直線OB上の点となります。

α>0とすると直線OBで分割した二つの部分のうちAを含む領域内の点になります。
直線上の点を含まない。

β=0とすると直線OA上の点となります。

β>0とすると直線OAで分割した二つの部分のうちBを含む領域内の点になります。
直線上の点を含まない。

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/11/27 20:21

下に書いてあるように、α+β=1なら直線で、α+β≦1は、内部になるので、図形、この場合は、△OABの線上及び内部となる！

No.1 回答者： mathstudent 回答日時： 2017/11/27 19:12

α＋β=1・・・直線ＡＢ上に点ＰがあるときのＯＰベクトルの方程式。

α＋β≦1・・・直線ＡＢ上、または△ＯＡＢ内部に点Ｐがあるときのベクトル方程式。


今回は、△ＯＡＢの内部を含めて全体を表したいので、あり得ます。