152番のbを教えてください！ 代替効果と所得効果について理解したつもりなのですが答えが出ません！

152番のbを教えてください！
代替効果と所得効果について理解したつもりなのですが答えが出ません！

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2017/12/04 08:51

まだ理解できませんか？まず無差別曲線（群）と予算線のグラフを書いて、これらが接する点（当初の最適点、Aと呼ぼう）を描く。

ついで、予算線の、横軸の切片をそのままにして、右側に回転させる。予算線の傾きは -1から-1/4へ「緩やか」になる。回転した予算線と（別の）無差別曲線との接点（Bとする）が価格変化後の最適点。回転した予算線を上へ平行移動し、当初の無差別曲線との接点（Cとする）を求める。AからCへの動きが代替効果だ。いま、点Aにおける第2財の消費をx2と書き、点Bにおけるそれをx2*、点Cにおけるそれをx2**と書くなら、
x2* - x2 =( x2*- x2**)+ (x2** - x2)
となるが、右辺の最初の括弧内の値が所得効果、2番目の括弧内の値が代替効果を表わしている。回答２では(x2** - x2)の代替効果の部分を計算しているのだ！所得効果の値も、(x2*-x2) - (x2**- x2) = (x2* - x2)として計算している。
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No.2 回答者： gootarohanako 回答日時： 2017/12/03 22:00

152の(b)の問題文をよく読むと、価格変化の財１ではなく財2の代替効果を計算するんですか？

それなら、
Δx2 = 25/4 - 16 = -39/4
が価格p2が１から４に上がったことによる代替効果です。
あなたがたぶん計算したであろうように、所得効果もいれた価格上昇の全効果は
x2＝(1/4)x１
つまり
x1=4x2
を新しい予算制約
x1 + 4x2 = 20
へ代入することで
8x2 = 20
x2 = 5/2
で与えられる。したがって、
Δx2 = 5/2 - 16 = - 27/2
がp2が１から４へ上がることの第2財の消費への全効果だ。よって、うち代替効果が-39/4なので、所得効果は
-27/2 - (-39/4) = -15/4
である。財の価格が上昇すると、その財への効果は代替効果も所得効果もマイナスに働くことになる。

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2017/12/02 08:22

価格ベクトルが(1,1)から(1,4)へ変化すると、予算線はx1+x2=20からx1+4x2=20へと横軸切片20を軸として右へ回転する。

よって無差別曲線と接する点（最適消費点）は当初の価格ベクトルのもとでは
MRS=1
を解けばよい。ただし、与えられた効用関数のもとでは限界代替率MRS=(1/2)√(x2/x1)で与えられるから、
(1/2)√(x2/x1) = 1
よって
x2 = 4x1
これを予算制約に代入し
x1 + 4x1 = 20
x1 =4, x2 = 16
を得る。したがって、このときの効用水準Uは
U＝√4 + 2√16 = 10
となる。

予讃線がシフト（回転）すると、最適点はシフトした予算線と無差別曲線の接点へと移るが、代替効果を計算するときは、当初の無差別曲線（U=10)上をMRS＝新しい価格比(=1/4)となる点を求める必要がある。つまり、

(1/2)√(x2/x1) = 1/4
√x1 + 2√x2 = 10

となる消費ベクトルを求める必要がある。前者の式はMRS=1/4であり、後者の式が消費ベクトルが当初の無差別曲線U=10上にあることをしめしている。解くと、前者より
x2 = (1/4)x1
を得るが、これを後者に代入して計算すると、
x1=25, x2=25/4
得る（計算が合っているか確かめてください！）

よって価格ベクトルが(1,1)から(1,4)へ変化した時の第1財の代替効果は
Δx1 = 25 - 4 = 21
となる。