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単射、全射、全単射、onto、1対1。

これらの意味を教えてください。
きっと同じ事を言っているのもあるとは思いますが。

A 回答 (3件)

写像f:A→Bにおいて、


・全射:f(A)=Bとなる場合。
・単射、1対1:x<>x’→f(x)<>f(x’)
・全単射:上記の二つの条件を満たす場合。
ということです。つまり、二つの集合A、Bにおいて、Aの各元xにBの元yを対応させる写像(関数だと思うとわかりやすい)f(f(x)=y)があるとき、
 ・Bのすべての元が、f(x)=yと言う形で書ければ、全射。
 ・AとBの元が、全部1対1で対応していれば、単射。
 ・AとBの元が1対1対応で、しかも表現しきれない部分がなければ、全単射。
だと思います。ontoはわかりません。ごめんなさい・・・。
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この回答へのお礼

良く分かりました。
10年くらい前には知っていたであろう事なのですが忘れてしまっていたので。
助かりました。ありがとうございました。

お礼日時:2001/07/09 14:15

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=99744
に回答しましたが、ここにも書いておきます。

1対1写像(one to one)=単射(injective)
上への写像(onto)=全射(surjective)
全単射=全射かつ単射

です。
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この回答へのお礼

英語まで添えていただいてありがとうございました。
ちなみに

http://www.nova.co.jp/webdic/webdic.html

で調べた所、全単射(bijection)でした。

お礼日時:2001/07/09 14:21

onto-mapping (上への写像) は全射のことです。

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この回答へのお礼

よく「上への」っていうのはontoつまり全射の事だったんですね。
腑に落ちました。ありがとうございました。

お礼日時:2001/07/09 14:17

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Q同型とは?

複素解析の本に
『複素数からその共役にうつる演算は体Cの1つの自己同型である』
とか
『体Cの同型で部分体Rの元を動かさないものはα→α(つまりなにも動かさぬ同型)とこの共役に限る』
とあるんですが、『同型』という言葉の定義について何も書いてありません。

同型とはなんですか?

Aベストアンサー

2つの体KとLが同型というのは、
KとLが同じ構造をしている
ということで、ぶっちゃけた話
KとLは同じものだと思ってもさしつかえないよ
ということです。
(これは私の同型というものに対するイメージです。)

厳密には、
2つの体KとLが同型というのは、KからLへの同型写像がある
というもので、同型写像とは
全単射な準同型写像
のことです。
KからLへの準同型写像とは
任意のa,b∈Kに対し f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)
を満たすKからLへの写像(関数)fのことです。

例を1つ。
R^2={(x,y)| x,yは実数}と複素数体Cは同型です。
R^2からCへの写像fを
f(x,y)=x+iy (iは虚数単位)
と定めるとfは同型写像になるからです。
R^2とCは同型なのですから
R^2とCはほとんど同じものだと考えてよいことになります。

また、自分から自分への(つまりCからCとか)の同型写像を
自己同型写像、あるいは略して自己同型といいます。
f(x+iy)=x-iy というある複素数をその共役に写すという写像fは
自己同型写像になりますよ、というのが
>『複素数からその共役にうつる演算は体Cの1つの自己同型である』
の述べていることです。

詳しく知りたいのでしたら代数学の本をひもとく必要がありますが、
そこを理解しないと先へ進めないということもないでしょうから、
(というのは質問にある『体Cの同型でうんぬんなんてのは
複素解析を学ぶ上でははっきり言ってどうでもいいことだからです)
頭の片隅にでも残しておいて飛ばしてもいいと思いますよ。

2つの体KとLが同型というのは、
KとLが同じ構造をしている
ということで、ぶっちゃけた話
KとLは同じものだと思ってもさしつかえないよ
ということです。
(これは私の同型というものに対するイメージです。)

厳密には、
2つの体KとLが同型というのは、KからLへの同型写像がある
というもので、同型写像とは
全単射な準同型写像
のことです。
KからLへの準同型写像とは
任意のa,b∈Kに対し f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)
を満たすKからLへの写像(関数)fのことです。

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関数解析で扱う線形空間は単に線形空間であるだけでなく位相というものを付け加えてあるものがほとんどです。いわゆる線形位相空間と呼ばれるものです。部分空間は通常の線形空間としての意味で、これに閉が付け加えられるときは与えられた位相でその部分集合(部分空間)が閉じていることも要求しているということです。

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x、yに対して必ず交わらないような開球をとることができるということなんだと思いますが、どうして必ずとることができるのかわかりません。
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よろしくおねがいいたします。

Aベストアンサー

自明です。実数の話とはなんら関係がありません。

ハウスドルフ空間とは、位相空間でハウスドルフの分離公理(T2とも呼ばれる)を満たすもののことで、任意の2点x,yに対して、x,yを含む開集合A,Bがとれて、A∩B=φとできることです。

これは理解されていると思います。では距離空間とは何か?

位相空間Xが距離dを持つ距離空間とは、任意の二点x,yに対して、距離d(x,y)≧0が定まって、三角不等式
d(x,z)≦d(x,y)+d(y,z)
および対称性
d(x,y)=d(y,x)
さらに自分との距離が0である点は自分自身しかない
d(x,y)=0⇔x=y
を満たすとき、距離空間という。

三角不等式や対称性はすぐに思い出せるでしょう。大事なのは三番目のd(x,y)=0ならば、x=yというところです。この辺りが極限の一意性や、あるいはハウスドルフ性と関わってきます。

例.R^2で、x=(x_1,x_2)、y=(y_1,y_2)に対して、d(x,y)=√{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}は距離になる(普通のユークリッド距離です)。

反例.R^2で、x=(x_1,x_2)、y=(y_1,y_2)に対して、d(x,y)=|x_1-y_1|は距離にはならない。三角不等式も対称性も満たすが、第二成分が等しければ常に距離は0になってしまう。

で、これさえ知っていればご質問のことは答えることができます。定義を使うしかないのだから、まず、異なる二点x,yを取ってきます。交わらない開集合を取ってきたらよいのです(今の場合は距離空間だから普通は開球を取る)。xとyの距離d(x,y)は定義から0ではありません。そこで、半径がd(x,y)/2の(不安ならd(x,y)/3ぐらいにしてもよい)x,y中心の開球をA,Bとします。そうすると三角不等式からA,Bは交わりません。

たとえば離散距離空間(異なる点との距離は全部1、自分との距離だけ0)というとんでもない距離空間を考えます。これもやはりハウスドルフ空間です。異なる二点、x,yをとると、その距離は1のはずです。x,yから半径1/3の開球を取ります。もちろんその開球の中にはそれぞれx,y以外の点はただの一つも含まれていないので、開球とは一点集合{x},{y}になっていますが、これはちゃんと開集合(開球)になっているので、これで分離公理が示されたことになるのです。

この辺りがご心配なら、距離空間Xにおいて、x中心、半径rの開球
{y∈X|d(x,y)<r}
がちゃんと開集合になっていることを確かめておくのが有益です。もっとも距離空間の位相をこれで定めることも多いので、そうするとこれはただの定義になってしまうのですけれど。

混乱されると困るので、分からないなら以下のことは読み飛ばしてもらって結構ですが、反例で書いたdという距離もどきからR^2に位相を導入することもできます。というのは、この距離もどきから決まる開球というものが開基の条件を満たすからで、これから決まる位相はハウスドルフにはなっていません。つまり第二成分が等しい異なる二点を、この距離もどき位相で分離することはできません。それはこの距離もどきの定義を見ても容易に納得できますよね。

自明です。実数の話とはなんら関係がありません。

ハウスドルフ空間とは、位相空間でハウスドルフの分離公理(T2とも呼ばれる)を満たすもののことで、任意の2点x,yに対して、x,yを含む開集合A,Bがとれて、A∩B=φとできることです。

これは理解されていると思います。では距離空間とは何か?

位相空間Xが距離dを持つ距離空間とは、任意の二点x,yに対して、距離d(x,y)≧0が定まって、三角不等式
d(x,z)≦d(x,y)+d(y,z)
および対称性
d(x,y)=d(y,x)
さらに自分との距離が0である点は自分自身しかない
d(x...続きを読む

Q反射的、対称的、推移的!??

数学の問題なのですが、教科書を読んでみてもいまいち理解できません・・・

問題は6問あるのですが、やはりぴんときません・・・

自然数、整数、実数全体の集合を、それぞれN,Z,Rとするとき、次の関係Sについて反射的か、対称的か、推移的か、そのいずれでもないかを述べよ

1 x,y∈R, xSy:x≦y
2 x,y∈N, xSy:x+yは偶数である
3 a,b∈N, aSb:ab>5
4 a,b∈N, aSb:aはbの約数である
5 a,b∈N, aSb:a<b
6 (x,y),(a,b)∈R×R,(x,y)S(a,b):x≦y,y≦b

1に関しては、反射的、推移的であるが、対照的でない、という解答(1≦2だが2≦1ではない)で良いのでしょうか。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

反射的、対称的、推移的の定義は正しく理解できていますか?
定義が満たされるかどうかをチェックすればよいです.(満たされているならその証明,そうでないなら判例を挙げればOK)
1番はjuniorjuniorさんの解答であっています.
では、試しに2番をやってみましょう.

∀x,y,z∈Nに対し,
xSxは成立.(x+x=2z:偶数)
「xSy,ySz⇒xSz」は成立.(x+z=(x+y)+(y+z)-2y:偶数)
「xSy⇒ySx」は成立.(y+x=x+y:偶数)
よって,二項関係Sは反射的,推移的,対照的である.

他の問題も同様に出来ると思います.

Q同型写像の証明問題

問題)f:R^n→R^nを同型写像とする。このとき、fの逆写像も同型写像となることを証明せよ。

以上の問題の方針として、Vを集合とした時に写像f:V→V、g:V→Vにおいてf◦g=idv、g◦f=idvならば、f、gは全単射であることを用いるのではないかと思ったのですが、これで正しいでしょうか。間違っていれば正しい方針を教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

そもそも「ベクトル空間の同型写像」というのを
どのように定義していますか?

まあ,実際は
「全単射な線型写像があれば,その逆写像も線型である」
を示せば十分なのでしょう.

任意のベクトルx,y,任意のスカラーk,lに対して,
あるベクトルa,bが存在して
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ka+lb=f(kx+ly),よって,
f^{-1}(ka+lb)=kx+ly=kf^{-1}(a)+lf^{-1}(b)
よって,f^{-1}も線型

Q反射律、対称律、推移律の例を挙げたい

反射律、対称律、推移律の下記例を挙げたいのですが、回答は正しいでしょうか。
(1)反射律であり、対称律でなく、推移律でない。
例){(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b)}
(2)対称律であり、反射律でなく、推移律でない。
例){(a,b),(b,a),(c,c),(d,d)}
(3)推移律であり、反射律でなく、対称律でない。
例){(a,b),(b,c),(a,c),(d,d)}

Aベストアンサー

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(b, c) でも追加してやったら?

Q部分群であることの証明

部分群であることの証明
Gを群、Hをその部分集合とし、a,b∈Gに対し、「a~b⇔ab^(-1)∈H」なる~ が同値関係であるとする。このとき、HはGの部分群であることを証明してほしいです。

部分群であることを証明するには、(1)結合法則が成り立つこと(2)単位元の存在(3)逆元の存在が言えればいいこと、
同値関係の定義については理解しています。

ですが証明文を書くことができず、困っています。


回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

えっと、同値の関係は、それでいいと思いますよ。

「結果的に同じことになった」と前にも書いたかな?

この問題では二つの同値 ~ と ⇔ がでてきているけれど、

両方とも、本来の意味として、結果的に同じになっているで、構いませんよ。

で、例に挙げた群だけど。。

実数全体(0を除く) (以下、R0 と書くことにしますね)と

演算子掛け算 × を持ってくると、群の定義は?

単位要素の存在、逆要素の存在、結合則の成立だよね。

R0の中から、好きな二つを取ってきます。

何でも構いません。掛け算した答えは、必ず実数になりますね。

 #無理数も実数だからね。虚数にならなければいい。

ここで二項代数として成立。

単位要素は、「1」ですね。 任意のR0∋c について、

c×1=c 動かないので単位要素だね。

逆要素は、c^(-1)だね。 c×(1/c)=1 単位要素に帰るわけだから。

 #0をどけたのは、これができないから。

例) c=√2 のとき c×c^(-1)=√2/√2 =1

無限に要素があるけど、これはすごく簡明な群なんだけどな・・・。

この場合は数値になるから、Hもとりやすいと思うけれども。

取ってみてくれるかな? そしたら少しつかめると思うけど。


そしてね、どっかでこれ見たことあるなぁ~と思ってました。

「群論への30講」 志賀浩二 著 朝倉出版

この、第八項に同じのがある。

出身が電気工学で、この本で独学したんだ(^^;)

本屋さん(大きな)に行く機会があったら、捜してみて?

もう結構古いから、絶版かもしれないけれど。


代数を専門とされてはいないのかな。ちょっと出てきたと言う感じかな?

群 って言うのをもう少し分かってからのほうがいいのかもしれない問題かもね?

かじるくらいにしては、少し難しいかもしれない。


でもね、例に挙げたのが群だと思って、そこから部分群になるようにHの要素を

持ってきてみて?

それができると、ある程度見晴らしがでてくると思う。

えっと、同値の関係は、それでいいと思いますよ。

「結果的に同じことになった」と前にも書いたかな?

この問題では二つの同値 ~ と ⇔ がでてきているけれど、

両方とも、本来の意味として、結果的に同じになっているで、構いませんよ。

で、例に挙げた群だけど。。

実数全体(0を除く) (以下、R0 と書くことにしますね)と

演算子掛け算 × を持ってくると、群の定義は?

単位要素の存在、逆要素の存在、結合則の成立だよね。

R0の中から、好きな二つを取ってきます。

何でも構いません...続きを読む

Q証明 英語

数学の証明での英語特有の言い回しを教えてください

Aベストアンサー

http://www.sparknotes.com/math/geometry3/geometricproofs/problems.html
こういうところを見ていったらどうでしょうかね。
与えられた条件なんかはGivenとかいっているようです。


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