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実数x,yがx^2+y^2=1を満たして変化するとき、z=y^2+2xの最大値は?

こちらの解答を詳しく教えて頂けませんか?

質問者からの補足コメント

  • 最小値はx=-1のとき、最小値-2でしょうか?

      補足日時:2017/12/08 15:04

A 回答 (4件)

No.2です。



#1 さんへの「お礼」に書かれたこと:
>定義域の考え方がよく分かりません…。どうして-1≦x≦1になるのでしょうか?

x^2 + y^2 = 1   ①
移項して
 y^2 = 1 - x^2  ②
ですから、x, y が実数なら2乗すれば必ず正なので
 y^2 ≧ 0
従って②より
 1 - x^2 ≧ 0
→ x^2 ≦ 1
よって
  -1 ≦ x ≦ 1
です。

①をグラフにすれば「原点を中心にした、半径1の円」なので、
  -1 ≦ x ≦ 1
  -1 ≦ y ≦ 1
であることが分かると思います。

「補足」に書かれたこと:
>最小値はx=-1のとき、最小値-2でしょうか?

No.2に書いた
 z = -x^2 + 2x + 1
  = -(x - 1)^2 + 2
の式を x-z グラフに書いて、-1 ≦ x ≦ 1 の範囲を書き入れてみれば一目瞭然ですね。

おっしゃるとおり、
 x = -1
のとき
 z = -( -1 - 1 )^2 + 2 = -2
で最小になります。
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最小値に関しては正解です。

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解き方はこちらと同じですよ。


ただし、この問題では「最大値」なので、「放物線の頂点」が定義域の範囲内であることから「頂点」で決まりです。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10107242.html

z=y^2+2x

 y^2 = 1 - x^2 (-1≦x≦1)
を代入して

 z = -x^2 + 2x + 1
  = -(x - 1)^2 + 2

つまり
・上に凸の放物線
・頂点は (1, 2)

-1≦x≦1 より
x=1 のとき 最大値 z=2

こちらも、グラフを書いてみてください。
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zがxとyの式で表されていますが、一般的に2変数関数の最大最小を求めることは容易ではなく、1変数に置き換えられるならば置き換えるのが普通です。



y^2=1-x^2なので、z=y^2+2x=1-x^2-2x=-x^2+2x+1となります。

ここで注意なのは、x^2+y^2=1という条件式があることです。条件式がある場合は、定義域も考えてあげましょう。

y^2=1-x^2で、y^2≧0より、1-x^2≧0なので、-1≦x≦1となります。

さて、最後にz=-x^2+2x+1(-1≦x≦1)の最小値と最大値ですが、軸はx=1であることと、上凸であることに着目すると、最大値はx=1の時に2となります。
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この回答へのお礼

詳しく教えて頂き、ありがとうございます!
定義域の考え方がよく分かりません…。どうして-1≦x≦1になるのでしょうか?

お礼日時:2017/12/04 00:24

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