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流体力学の循環について質問です。

自由渦の場合、
周方向の速度:v=k/r
渦度:ζ=0 です。

このとき、循環Γは、閉曲線をS、S内の面積をAとするとき、
Γ=∮_S vds = ∮_A ζdA
(線積分) (面積分)

で求まるのですよね?

線積分の方で計算すると、
Γ=k/r × 2πr
=2πk ①
となり、rによらず一定となります。

面積分の方で計算すると、
Γ=0×πr^2
=0 ②
となります。


資料には、①が正しいとありました。
しかし、そもそも渦度が0なのに循環があるというのも不思議です。

また、画像にあるのですが、閉曲線の内部に渦の中心を含むのと含まないので解き方が変わるのはなぜですか?

多く質問してすみません。
どなたかわかる方、教えていただけると幸いです。

「流体力学の循環について質問です。 自由渦」の質問画像
gooドクター

A 回答 (1件)

>周方向の速度:v=k/r


これが成り立つのはr≠0に限ります。

>渦度:ζ=0 です。
上記の速度からrot vを計算したのであれば、これもr≠0でしか成り立たない事になります。

r=0では渦度は発散していて、ζはδ関数(の定数倍)になっています。

数学的に厳密な証明にこだわらないなら、
>しかし、そもそも渦度が0なのに循環があるというのも不思議です。
という不思議な関数がδ関数の事だから、というような証明で納得してもらうのがいいでしょう。(物理をやる分にはこの程度の認識で十分です)


>面積分の方で計算すると、
>Γ=0×πr^2
>=0 ②
>となります。
δ関数を積分したものが残るので、面積分で計算してもゼロになりません。

>また、画像にあるのですが、閉曲線の内部に渦の中心を含むのと含まないので解き方が変わるのはなぜですか?
何を計算しているのかよくわかりませんが、δ関数が閉曲線の中にあるかどうかで計算方法を変えているのでしょう。
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