数学の先生に聞いたところ素因数分解の一意性あたりの事実は直観的に自明だと言っていたのですが、分かりません。どう思いますか。分かる人はイメージを教えて下さい。
(直観的というのはなんの定理も知らない状況でも導けるくらいのことです)

A 回答 (5件)

2の倍数でない数と2の倍数でない数の積は2の倍数ではないよね。


3の倍数でない数と3の倍数でない数の積も3の倍数ではないよね。
5の倍数でない数と5の倍数でない数の積も5の倍数ではないよね。
多分、他の素数でも同じ・・・、だよね。

うーーーん、おぉ! つーことは、素因数分解は一意じゃん!!


↑こんなのが「直観」ってヤツですね。
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この回答へのお礼

確かに人によって直観の意味は違いますね。

お礼日時:2017/12/07 11:17

その先生に、きちんとした証明が書いてある本を教えてもらってください。


本の名前が分かったら、ここで教えてください。

もちろん、
整数とは何か。
整数をどのように作るか。
演算はどう定義するか。
素数を上手く定義できるか。
などなど
あって、どこから始めるかも大問題です。

自明なことなどほとんどありません。
たとえば、

2+3=?
の?を求めよ。
は小学生でもできる。

でも、
2+3=5
を証明せよは、高校生では困難です。
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素因数分解の一意姓の証明は結構面倒です。


「pが素数で、ab=pcなら、aかbがpの倍数だ」
ってことをすべての素数pについて示すのが王道ですが・・・。
当然pが素数でなければこの命題は成り立たないわけです。



ただ、「直観的に自明」という言葉の意味は「なんの定理も知らない状況でも導ける」というのとはずいぶん意味が違うように思います。

「直観的に自明」は、その命題を証明する前から「あぁ、そりゃ成り立ちそうだね」という確信があって反例を考えようにもとっかかりすらない。  といった意味でしょう。

このことは、「証明が容易」であることを全く意味しません。

自然数の加法に可換則があること(a+b=b+a)は直観的に自明ですが証明は面倒ですし、高校生には決して証明できません。
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この回答へのお礼

どう考えれば成り立ちそうだとなりますか。確かに成り立っても不思議ではない気がするくらいで、なにか、自明とまではいえない気がします。

お礼日時:2017/12/06 16:20

直観的でも自明でもありません。

厳密な証明は結構面倒です。
# 素因数分解の一意性とその証明について https://mathtrain.jp/primeunique
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2種類以上の素因数分解方法があったとしたら、一方にしか現れない素数pが存在することになる。


では、その素数pは元の数の因数でしょうか?

>分かる人はイメージを教えて下さい。
あとは、自分で考えてみてください。そうすれば、一意性のイメージがわいてくると思います。
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この回答へのお礼

あなたにとってたとえば13かける29が13と29という素数でしか割れないという事実はどうイメージしますか。自分は1年くらい考えてもすんなりはしません。教えて下さい

お礼日時:2017/12/05 18:21

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