【早急です！！】 面積分についての質問になります。 ∫s(x^2＋y^2)dS Sは放物線Z＝2-x

【早急です！！】
面積分についての質問になります。

∫s(x^2＋y^2)dS

Sは放物線Z＝2-x^2-y^2のz≧0

この問題が解けません。

私の考えではまず
dSをdxdyに変換してその後ヤコビアンより極座標変換してやったのですが、うまく行きません。。

早急よろしくお願いします！

質問者からの補足コメント

• rの部分の積分は部分積分で次数を下げて行くしかないのでしょうか？

    補足日時：2017/12/07 11:00

No.1 ベストアンサー 回答者： diff3356 回答日時： 2017/12/07 07:57

r(u, v)=(u, v, 2-u^2-v^2) より、

∂r/∂u=(1, 0, -2u), ∂r/∂v=(0, 1, -2v). ですから、
(∂r/∂u)×(∂r/∂v)=(2u, 2v, 1).
これから、D={(x, y)|x^2+y^2≦2} として、
I=∬[D](u^2+v^2)*√(4u^2+4v^2+1)dudv
=∫[0~2pi]{∫[0~√2]√(4r^2+1) *r^3dr}dφ.
これを計算してください。
--------------------
※ I=(149/30)pi.
計算ミスがあるかもしれません。

この回答へのお礼

diff3356さんご回答ありがとうございます。

私も最後の式までは計算できたのですが、rの部分の積分をどのように計算しましたでしょうか？よろしくお願いしますm(_ _)m

お礼日時：2017/12/07 10:57