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高1数学です。
この図の(△ABCの内心をIとする)、
△IBDと△ABCの面積比の求め方教えてください!ちなみに答えは5:21です。お願いします!

「高1数学です。 この図の(△ABCの内心」の質問画像

A 回答 (3件)

暗算でもできる問題!


内心は、内接円の中心だが、各角の二等分線の交点だから、
BD:BA=5:10=DI:IAだから、△BDI=5なら、△BDA=5+10=15
同様に、BD:DC=5:2より△ABC=15・(7/5)=21 ∴ 5:21
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いろんな解法がありますが、縦と横の縮尺比で検討します。


与えられた条件で描いた図で進めます。
AI:DI=3:1 これは既知の条件から、高さの比も3:1
∠Aの2分割ですから、AB:BC=a:bが成り立つので
BD=5、DC=2
△ABCの面積Sは
S=7×h/2
△BDIの面積S1は
S1=5×h/3×1/2
 =5h/6
S1:S=10h/3:7×h/2
   =5/6:7/2
   =5/6:21/6
   =5:21
以上です。
「高1数学です。 この図の(△ABCの内心」の回答画像2
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高さが等しい三角形の面積比は底辺の長さの比で決まります。



まず△ABCと△ABDに注目します。
底辺の長さの比がBC:BD=7:5ですから、△ABC:△ABD=7:5です。

次にADを底辺とみて、△BDA:△BDIを考えます。
Iは内心ですから、底辺の長さの比DA:DI=3:1です。
よって、△BDA:△BDI=3:1です。

ここで、△ABD=△BDAなので、以下の関係が成り立ちます。(以下△は省略しますね。)
ABC:ABD:BDI
7 : 5
3 : 1

ここでABDの面積をそろえるために、上段を3倍、下段を5倍します。
すると、
ABC:ABD:BDI
21 : 15
15 : 5

よって、
ABC:ABD:BDI=21:15:5となり、△BDI=△IBDですから、
△IBD:△ABC=5:21となります。
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Q数学A 平面図形 三角形の面積の比の問題です

下の図において、次の値を求めよ。

△ABD/△ABC,△ABP/△ABC

解説なども含めた回答を頂けると助かります。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

△ABD/△ABC,△ABP/△ABC
△ABDと△ABCは高さが共通(AからBCに下ろした垂線の長さ)
なので、面積比は底辺の長さの比になります。
よって△ABD/△ABC=3/7

△ABPと△ABDは高さが共通(BからADの延長線上に下ろした
垂線の長さ)なので、上と同様に△ABP/△ABD=2/5になります。
この2式から求める△ABP/△ABCは
△ABP/△ABC=(△ABP/△ABD)×(△ABD/△ABC)=(2/5)×(3/7)
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Q数学A 三角形の内心の問題です

AB=4,BC=8,CA=6である△ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をDとする。このとき、次のものを求めよ。
(1)線分BDの長さ
(2)AI:ID

途中式を含めた回答を頂けると有難いです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

AB=4,BC=8,CA=6である△ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をDとする。
>このとき、次のものを求めよ。
>(1)線分BDの長さ
△ABCで、Iは内心だから、AIは角Aの二等分線
BD:DC=AB:AC=4:6=2:3
BD=8×(2/5)=16/5

>(2)AI:ID
△BADで、Iは(△ABCの)内心だから、BIは角Bの二等分線
AI:ID=BA:BD=4:(16/5)=5:4

でどうでしょうか?図を描いて考えてみて下さい。


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