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a[1]=1,a[n+1]=2a[n]+3^n+1

で表される数列が、

どうして、a[n+1]-3^(n+1)+1=2(a[n]-3^n+1)

と変形できるかを教えて欲しいです…。

A 回答 (3件)

両辺に -3^(n+1)+1 を加えればそのように変形できるよね.

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3^(n+1)


という解釈で良いですね。
両辺から、「3×3^(n+1)」を引くと
左辺
a[n+1]-3×3^(n+1)
=a[n+1]-3^{(n+1)+1}
右辺
2a[n]+3^(n+1)-3×3^(n+1)
=2a[n]-2×3^(n+1)
=2{a[n]-3^(n+1)}
になりますね。
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この回答へのお礼

折角 解説を頂いたにも関わらず申し訳ないのですが、与式の右辺は3^(n+1)ではなく3^n +1 なんです…
それを踏まえた上でもう一度解説頂けませんか?

お礼日時:2017/12/18 20:32

漸化式と特性方程式に関する考察



<隣接2項漸化式>
特性方程式
 漸化式 an+1=ban+c に対して、x=bx+c を特性方程式という。
解説
 もとの漸化式が
  an+1-α=b(an-α)
 の形になれば、an-α が等比数列になるので、まず、この形にすることを
 目指す。上式のカッコをはずして、
  an+1=ban-bα+α
 係数を比較して、
  c=-bα+α
  α=bα+c
 となり、αは方程式 x=bx+c の解となる。
 つまり、特性方程式の解を、もとの漸化式の両辺から引くと、等比数列を導ける。

上の説明から特性方程式から求めているが、指数形は、

a n+1/3^n+1 =(2/3)(a n/3^n) +1 と両辺を割って階差をとるのが普通!
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